Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（0，3），動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)C作CD∥AB于OA于點(diǎn)D，以CD為邊向上作正方形CDEF，設(shè)正方形CDEF與△AOB重合部分圖形的面積為y，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）用含t的式子表示E，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）過點(diǎn)A，B分別作x鈾、y軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)H，當(dāng)正方形的頂點(diǎn)落在AH或BH邊上時(shí)，求t的值．
（4）在點(diǎn)D向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中，連接AE，BF，分別以CF，DE為對稱軸，作△BCF和△ADE的軸對稱三角形△B′CF，△A′DE，當(dāng)1≤A′B′≤4時(shí)，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作EM⊥OA于M，EN⊥OB于N，只要證明△CNF≌△DOC，△DOC≌△EMD，推出CN=OD=EM=4t，F(xiàn)N=OC=DM=3t，由此即可解決問題．
（2）分兩種情形①當(dāng)0＜t≤$\frac{12}{37}$時(shí)，重疊部分就是正方形CDEF，如圖1，②當(dāng)$\frac{12}{37}$＜t＜1時(shí)，重疊部分是四邊形CDGH，如圖2中，分別求解即可．
（3）分三種情形①如圖3中，當(dāng)點(diǎn)F在BH上時(shí)，由△CBF≌△DOC可知BC=OD=4t，列方程求解．②如圖4中，當(dāng)點(diǎn)E在AH上時(shí)，由△ADE≌△OCD可得AD=OC=3t，
列方程求解．③當(dāng)C、D在AH、BH上時(shí)，t=1．
（4）分兩種情形討論①當(dāng)A′在B′上方時(shí)，如圖5中，②當(dāng)A′在B′下方時(shí)，如圖6中，分別列出不等式組即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作EM⊥OA于M，EN⊥OB于N．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=CF，∠FCD=90°，
∴∠FCN+∠DCO=90°，∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠FCN=∠CDO，∵∠CNF=∠DOC=90°，
∴△CNF≌△DOC，同理可證△DOC≌△EMD，
∴CN=OD=EM，F(xiàn)N=OC=DM，
∵CD∥AB，
∴$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OD}{OA}$，
∴$\frac{3t}{3}$=$\frac{OD}{4}$，
∴OD=4t，
∴CN=OD=EM=4t，F(xiàn)N=OC=DM=3t，
∴F（3t，7t），E（7t，4t）．

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，
當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，4t=-$\frac{3}{4}$×7t+3，解得t=$\frac{12}{37}$，
∴當(dāng)0＜t≤$\frac{12}{37}$時(shí)，重疊部分就是正方形CDEF，如圖1，S=25t²．
當(dāng)$\frac{12}{37}$＜t＜1時(shí)，重疊部分是四邊形CDGH，如圖2中，

∵∠A=∠A，∠DGA=∠AOB，
∴△ADG∽△ABO，
∴$\frac{DG}{OB}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{DG}{3}$=$\frac{4-4t}{5}$，
∴DG=$\frac{3}{5}$（4-4t），
∴S=5t×$\frac{3}{5}$（4-4t）=-12t²=12t，
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{25{t}^{2}}&{（0＜t≤\frac{12}{37}）}\\{-12{t}^{2}+12t}&{（\frac{12}{37}＜t＜1）}\end{array}\right.$．

（3）如圖3中，

當(dāng)點(diǎn)F在BH上時(shí)，由△CBF≌△DOC可知BC=OD=4t，
∴3t+4t=3，
∴t=$\frac{3}{7}$，時(shí)點(diǎn)F在BH上．
如圖4中，

當(dāng)點(diǎn)E在AH上時(shí)，由△ADE≌△OCD可得AD=OC=3t，
∴4t+3t=4，
∴t=$\frac{4}{7}$時(shí)，點(diǎn)E在AH上．
當(dāng)C、D在AH、BH上時(shí)，t=1
綜上所述，t=$\frac{3}{7}$或$\frac{4}{7}$或1秒時(shí)，正方形的頂點(diǎn)落在AH或BH邊上．

（4）當(dāng)A′在B′上方時(shí)，如圖5中，

A′B′=AA′-5+BB′=$\frac{4}{5}$（4-4t）+$\frac{3}{5}$（3-3t）-5=5-10t，
由題意：1≤5-10t≤4，
解得$\frac{1}{10}$≤t≤$\frac{2}{5}$．
當(dāng)A′在B′下方時(shí)，如圖6中，

A′B′=5-AA′-BB′=10t-5，
由題意1≤10t-5≤4，
解得$\frac{3}{5}$≤t$≤\frac{9}{10}$，
綜上所述，$\frac{1}{10}$≤t≤$\frac{2}{5}$或$\frac{3}{5}$≤t$≤\frac{9}{10}$時(shí)，1≤A′B′≤4．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論，學(xué)會畫好圖象解決問題，學(xué)會把問題轉(zhuǎn)化為方程或不等式組解決，屬于中考壓軸題．