Question

15．如圖，以Rt△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊BC于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，且AB=8cm，AC=6cm．
（1）求AD的長(zhǎng)和sin∠B的值；
（2）連結(jié)OE，判斷OE與AD是否垂直？為什么？
（3）判斷DE是否是⊙O的切線？若是，試求出切線DE的長(zhǎng)；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，先利用勾股定理計(jì)算出BC=10cm，再根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，然后可利用面積法求出AD的長(zhǎng)，利用正弦的定義計(jì)算sin∠B的值；
（2）先判斷DE為Rt△ACD的斜邊AC上的中線，則EA=ED，根據(jù)線段垂直平分線的逆定理得點(diǎn)E在AD的垂直平分線上，同樣可得點(diǎn)O在AD的垂直平分線上，于是可判斷OE垂直平分AD，即OE⊥AD；
（3）由EA=ED得∠EDA=∠EAD，由OD=OA得∠ODA=∠OAD，則∠ODE=∠OAE=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到DE是⊙O的切線；然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)計(jì)算DE的長(zhǎng)．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=8cm，AC=6cm．
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}}$=10cm，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$AC•AB，
∴AD=$\frac{6×8}{10}$=4.8（cm），
sin∠B=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$；
（2）OE⊥AD．理由如下：
∵E為AC的中點(diǎn)，
∴DE為Rt△ACD的斜邊AC上的中線，
∴EA=ED，
∴點(diǎn)E在AD的垂直平分線上，
∵OD=OA，
∴點(diǎn)O在AD的垂直平分線上，
∴OE垂直平分AD，
即OE⊥AD；
（3）DE是⊙O的切線．理由如下：
∵EA=ED，
∴∠EDA=∠EAD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠EDA+∠ODA=∠EAD+∠OAD，
∴∠ODE=∠OAE=90°，
∴ED⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；
DE=$\frac{1}{2}$AC=3cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了解直角三角形．