Question

6．如圖，點(diǎn)A在函數(shù)y=$\frac{5}{x}$（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，BO=BA，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)C是AB的中點(diǎn)，D是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)是A′．
①OD為何值時(shí)，點(diǎn)A′與點(diǎn)B重合？
②OD為何值時(shí)，以C，D，B，A′為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)A作AH⊥OB于H，如圖1，由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1可求出OH、AH，設(shè)OB=x，則AB=OB=x，BH=x-1，然后在Rt△AHB中運(yùn)用勾股定理即可解決問題；
（2）①設(shè)DB=m，則有AD=BD=m，HD=12-m，只需在Rt△AHD中運(yùn)用勾股定理，就可解決問題；
②以C，D，B，A′為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形并不唯一，可分兩種情況進(jìn)行討論：Ⅰ．若BC是平行四邊形的邊，如圖2，易證四邊形CADA′是菱形，從而得到AD=AC=$\frac{13}{2}$，然后在Rt△AHD中運(yùn)用勾股定理即可解決問題；Ⅱ．若BC是平行四邊形的對(duì)角線，如圖3，易得DB=CA′=CA=$\frac{13}{2}$，即可求出OD．

解答 解：（1）過點(diǎn)A作AH⊥OB于H，如圖1．
∵點(diǎn)A在函數(shù)y=$\frac{5}{x}$（x＞0）的圖象上，x_A=1，
∴OH=1，y_A=$\frac{5}{1}$=5，
∴AH=5．
設(shè)OB=x，則有AB=OB=x，BH=x-1．
在Rt△AHB中，根據(jù)勾股定理可得：
5²+（x-1）²=x²，
解得：x=13，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（13，0）；

（2）①若點(diǎn)A′與點(diǎn)B重合，如圖1，
∵點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)是A′，
∴DA=DA′=DB．
設(shè)DB=m，則有AD=BD=m，HD=12-m．
在Rt△AHD中，根據(jù)勾股定理可得：
5²+（12-m）²=m²，
解得：m=$\frac{169}{24}$，
∴OD=OB-DB=13-$\frac{169}{24}$=$\frac{143}{24}$，
∴OD為$\frac{143}{24}$時(shí)，點(diǎn)A′與點(diǎn)B重合；
②Ⅰ．若BC為平行四邊形的邊，如圖2，
則有四邊形CDA′B是平行四邊形，
∴DA′∥BC，DA′=BC．
∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{13}{2}$，
∴DA′∥AC，DA′=AC，
∴四邊形CADA′是平行四邊形．
∵DA=DA′，
∴平行四邊形CADA′是菱形，
∴AD=AC=$\frac{13}{2}$，
∴HD²=AD²-AH²=$\frac{169}{4}$-25=$\frac{69}{4}$，
∴HD=$\frac{\sqrt{69}}{2}$，
∴OD=$\frac{\sqrt{69}}{2}$+1；
Ⅱ．若BC為平行四邊形的對(duì)角線，如圖3，
則有四邊形CDBA′是平行四邊形，
∴DB=CA′．
∵CA=CA′，
∴DB=AC=$\frac{13}{2}$，
∴OD=OB-DB=13-$\frac{13}{2}$=$\frac{13}{2}$．
綜上所述：當(dāng)OD為$\frac{\sqrt{69}}{2}$+1或$\frac{13}{2}$時(shí)，以C，D，B，A′為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，證到四邊形CADA′是菱形，從而得到AD=AC是解決第（2）①小題的關(guān)鍵．設(shè)某個(gè)線段為x，然后運(yùn)用勾股定理（或相似三角形的性質(zhì)或三角函數(shù)的定義）建立方程，并解出這個(gè)方程，是求線段長(zhǎng)度常用的方法，應(yīng)熟練掌握．另外，需要說明的是：當(dāng)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的順序不確定時(shí)，需分情況討論．