Question

11．如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD邊上一點(diǎn)，DE=$\frac{1}{3}$AD，連接BE，作BE的垂直平分線分別交AD、BC于點(diǎn)F、G，F(xiàn)G與BE的交點(diǎn)為O，連接BF和EG．
（1）試判斷四邊形BFEG的形狀，并說明理由；
（2）當(dāng)AB=a（a為常數(shù)）時(shí)，求FG的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求出OB=OE，BF=EF，根據(jù)矩形性質(zhì)和平行線性質(zhì)求出∠FEO=∠GBO，證△FOE≌△GOB，推出OF=OG，即可得出答案；
（2）求出AD=2a，DE=$\frac{2}{3}$a，AE=2a-$\frac{2}{3}$a=$\frac{4}{3}$a，根據(jù)勾股定理求出BE、求出OB，根據(jù)勾股定理求出BF，根據(jù)勾股定理求出OF即可．

解答 解：（1）四邊形BFEG的形狀是菱形，
理由是：∵BE的垂直平分線分別交AD、BC于點(diǎn)F、G，
∴OB=OE，BF=EF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FEO=∠GBO，
在△FOE和△GOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEO=∠GBO}\\{OE=OB}\\{∠FOE=∠GOB}\end{array}\right.$，
∴△FOE≌△GOB，
∴OF=OG，
∵OB=OE，
∴四邊形BFEG是平行四邊形，
∵BF=EF，
∴四邊形BFEG是菱形；

（2）∵AB=a，AD=2AB，DE=$\frac{1}{3}$AD，
∴AD=2a，DE=$\frac{2}{3}$a，
∴AE=2a-$\frac{2}{3}$a=$\frac{4}{3}$a，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{4}{3}a）^{2}}$=$\frac{5}{3}$a，
∴BO=OE=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{5}{6}$a，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB²+AF²=BF²=EF²，
a²+（$\frac{4}{3}$a-BF）²=BF²，
解得：BF=$\frac{25}{24}$a，
在Rt△FOB中，由勾股定理得：FO=$\sqrt{B{F}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{24}a）^{2}-（\frac{5}{6}a）^{2}}$=$\frac{5}{8}$a，
∴FG=2FO=$\frac{5}{4}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，垂直平分線性質(zhì)，平行四邊形的判定，勾股定理，菱形的判定的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．