Question

3．如果方程（a+1）x^|a|+（b-4）y^|b|-3+2=0是關(guān)于x、y的二元一次方程，且函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）畫(huà)出函數(shù)y=ax+b的圖象，并求線段AB的長(zhǎng)度．
（3）求△OAB的面積．
（4）如果P點(diǎn)是x軸上的一點(diǎn)，且△PAB為等腰三角形，請(qǐng)你直接寫(xiě)出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程（a+1）x^|a|+（b-4）y^|b|-3+2=0是關(guān)于x、y的二元一次方程，可得$\left\{\begin{array}{l}{|a|=1}\\{a+1≠0}\\{|b|-3=1}\\{b-4≠0}\end{array}\right.$，據(jù)此求出a、b的值各是多少，即可推得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）首先根據(jù)求出的A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，畫(huà)出函數(shù)y=ax+b的圖象；然后根據(jù)OA=4，OB=4，應(yīng)用勾股定理，求出線段AB的長(zhǎng)度是多少即可．
（3）根據(jù)直角三角形的面積公式，求出△OAB的面積是多少即可．
（4）根據(jù)題意，分三種情況：①當(dāng)PA=PB時(shí)；②當(dāng)AP=AB=4$\sqrt{2}$時(shí)；③當(dāng)BP=BA=4$\sqrt{2}$時(shí)；然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵方程（a+1）x^|a|+（b-4）y^|b|-3+2=0是關(guān)于x、y的二元一次方程，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|a|=1}\\{a+1≠0}\\{|b|-3=1}\\{b-4≠0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$．
∵函數(shù)y=x-4的圖象與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，-4）．

（2）函數(shù)y=x-4的圖象如下：
，
∵OA=4，OB=4，
∴線段AB的長(zhǎng)度是：
$\sqrt{{4}^{2}{+4}^{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$．

（3）在Rt△OAB中，
∵OA=4，OB=4，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}OA•OB$=$\frac{1}{2}×4×4=8$．

（4）①如圖2，
，
當(dāng)PA=PB時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)O重合，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，0）．
②如圖3，
，
當(dāng)AP=AB=4$\sqrt{2}$時(shí)，
∵A點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，0），
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（4-4$\sqrt{2}$，0）．
③如圖4，
，
當(dāng)BP=BA=4$\sqrt{2}$時(shí)，
∵A點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，0），
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（-4，0）．
綜上，可得
當(dāng)△PAB為等腰三角形時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)的坐標(biāo)是（0，0）、（4-4$\sqrt{2}$，0）或（-4，0）．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問(wèn)題的能力．
（2）此題還考查了直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，以及三角形的面積的求法，要熟練掌握．