Question

1．如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE=PB．
（1）求證：△BCP≌△DCP；
（2）求證：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改為菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他條件不變，如圖2．連接DE，試探究線段BP與線段DE的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=DC，對角線平分一組對角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“邊角邊”證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠CBP=∠CDP，根據(jù)等邊對等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，從而得證；
（3）結(jié)論：DE=PB．只要證明△PDE是等邊三角形即可解決問題；

解答 （1）證明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
∵在△BCP和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCP=∠DCP}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△DCP（SAS）；

（2）證明：由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∵∠1=∠2（對頂角相等），
∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E，
即∠DPE=∠DCE
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DPE=∠ABC；

（3）解：結(jié)論：DE=PB．
理由：由（1）知PD=PB=PE，
由（2）知，∠DPE=∠ABC=60°，
∴△PDE是等邊三角形，
∴DE=PE=PB
∴DE=PB．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)確定出∠BCP=∠DCP是解題的關鍵．