Question

11．如圖，四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，以AB為直徑的⊙O交CD于E、F，交BC于G，AD=2，BC=3，CD=7，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 首先連接AG，利用矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理求得直徑AB，作OH⊥EF于點(diǎn)G，連接OE，利用垂徑定理，梯形的中位線定理，勾股定理分別求得OH、HD、HE，進(jìn)一步求得DE的長(zhǎng)即可．

解答 解：如圖，連接AG，OE，作OH⊥EF于點(diǎn)G，

∵AB為直徑，
∴∠AGB=90°，
∵∠C=∠D=90°，
∴四邊形ADCG是矩形，
∴CG=AD=2，AG=CD=7，
∴BG=BC-CG=1，
∴AB=$\sqrt{B{G}^{2}+A{G}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∵OH⊥EF，O是AB的中點(diǎn)，
∴OH=$\frac{1}{2}$（AD+BC）=$\frac{5}{2}$，DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{7}{2}$，
∴EH=$\sqrt{O{E}^{2}-O{H}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴DE=DH-EH=1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查垂徑定理，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，梯形的中位線的實(shí)際運(yùn)用，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．