Question

7．如圖，⊙O的直徑AB=12，AM，BN是⊙O的兩條切線，DC切⊙O于E，交BN于C，設(shè)AD=x，BC=y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若x，y是2t²-30t+m=0的兩實(shí)根，求x，y的值；
（3）求△OCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線長定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，則DC=DE+CE=x+y，在直角△DFC中根據(jù)勾股定理，就可以求出y與x的關(guān)系，
（2）由（1）求得xy=36；最后由根與系數(shù)的關(guān)系求得a的值，通過解一元二次方程即可求得x、y的值；
（3）由AM，BN是⊙O的兩條切線，DC切⊙O于E，得到OE⊥CD，AD=DE，BC=CE，推出S_△AOD=S_△ODE，S_△OBC=S_△COE，S_△COD=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×（3+12）×12=45．

解答 解：（1）如圖1，作DF⊥BN交BC于F；
∵AM、BN與⊙O切于點(diǎn)定A、B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN．
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴BF=AD=x，DF=AB=12，
∵BC=y，
∴FC=BC-BF=y-x；
∵DE切⊙O于E，
∴DE=DA=x CE=CB=y，
則DC=DE+CE=x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）²=（y-x）²+12²，
整理為：y=$\frac{36}{x}$，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=$\frac{36}{x}$．

（2）由（1）知xy=36，
x，y是方程2x²-30x+a=0的兩個(gè)根，
∴根據(jù)韋達(dá)定理知，xy=$\frac{a}{2}$，即a=72；
∴原方程為x²-15x+36=0，解得，
$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=12}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∵x＜y，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=12}\end{array}\right.$；

（3）如圖2，連接OD，OE，OC，
∵AD，BC，CD是⊙O的切線，
∴OE⊥CD，AD=DE，BC=CE，
∴S_△AOD=S_△ODE，
S_△OBC=S_△COE，
∴S_△COD=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×（3+12）×12=45．

點(diǎn)評 題主要考查了切線長定理．韋達(dá)定理、解一元二次方程、全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定與性質(zhì)，梯形的面積可以通過作高線轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題．