Question

6．如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，將△ACD沿AC折疊為△ACF，將△ABD沿AB折疊為△ABG，延長FC和GB相交于點H．
（1）求證：四邊形AFHG為正方形；
（2）若BD=6，CD=4，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質可得到的條件是：①AG=AD=AF，②∠GAF=∠GAD+∠DAF=2∠BAC=90°，且∠G=∠F=90°；由②可判定四邊形AGHF是矩形，由AG=AF可證得四邊形AGHF是正方形；
（2）設AD=x，由折疊的性質可得：AD=AF=x（即正方形的邊長為x），BG=BD=6，CF=CD=4；進而可用x表示出BH、HC的長，即可在Rt△BHC中，由勾股定理求得AD的長，進而可求出AB的長．

解答 證明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°；
由折疊可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，
∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，
∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；
∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°；
∴四邊形AFHG是正方形，
解：（2）∵四邊形AFHG是正方形，
∴∠BHC=90°，
又GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4；
設AD的長為x，則BH=GH-GB=x-6，CH=HF-CF=x-4．
在Rt△BCH中，BH²+CH²=BC²，
∴（x-6）²+（x-4）²=10²，
解得x₁=12，x₂=-2（不合題意，舍去），
∴AD=12，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{144+36}$=6$\sqrt{5}$．

點評 此題主要考查了垂徑定理、勾股定理、正方形的判定和性質以及圖形的翻折變換等知識，能夠根據(jù)折疊的性質得到與所求相關的相等角和相等邊是解答此題的關鍵．