Question

20．如圖，已知∠AOB，P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，
（1）要使得△PEF的周長最小，試在圖上確定點(diǎn)E、F的位置．
（2）若OP=4，要使得△PEF的周長為4，則∠AOB=30°．

Answer 1

分析 （1）作點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)E、F，此時(shí)△PEF的周長為PE+EF+FP=CD，周長最小．
（2）連接OC，OD，PE，PF，根據(jù)OC=OD=CD=4，得出△COD是等邊三角形，即可求得∠AOB的度數(shù)．

解答 解：（1）如圖，作點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)C，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D，連接CD，交OA于E，OB于F．此時(shí)，△PEF的周長最�。�
（2）連接OC，OD，PE，PF．
∵點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于OA對稱，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB，OC=OD=OP=4，
∴∠COD=2∠AOB．
又∵△PEF的周長=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，
∴OC=OD=CD=4，
∴△COD是等邊三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°．
故答案為30°．

點(diǎn)評 本題考查了軸對稱-最短路線問題，找到點(diǎn)E和F的位置是解題的關(guān)鍵．要使△PEF的周長最小，通常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解決．