Question

9．我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．
（1）寫出一種你所知道的特殊四邊形中是勾股四邊形的圖形的名稱長方形，正方形．
（2）如圖（1），請你在圖中畫出以格點為頂點，OA、OB為勾股邊，且對角線相等的所有勾股四邊形OAMB．
（3）如圖（2），以△ABC邊AB作如圖正三角形ABD，∠CBE=60°，且BE=BC，連結(jié)DE、DC，∠DCB=30°．求證：DC²+BC²=AC²，即四邊形ABCD是勾股四邊形．

Answer 1

分析 （1）只要四邊形中有一個角是直角，根據(jù)勾股定理就有兩直角邊平方的和等于斜邊的平方，即此四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，由此可知，正方形、長方形、直角梯形都是勾股四邊形．
（2）利用勾股定理計算畫出即可；
（3）首先證明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，連接CE，進(jìn)一步得出△BCE為等邊三角形；利用等邊三角形的性質(zhì)，進(jìn)一步得出△DCE是直角三角形，問題得解．

解答 解：（1）是勾股四邊形的圖形的名稱：長方形，正方形；
故答案是：長方形，正方形；

（2）如圖（1），點M（3，4）或M（4，3）；

（3）證明：如圖（2），連結(jié)EC．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△ABC≌△DBE，則BC=BE，AC=DE．
又∵∠CBE=60°，
∴△CBE是等邊三角形，
∴∠BCE=60°，BC=EC
又∵∠DCB=30°
∴∠BCE+∠DCB=90°即∠DCE=90°，
∴DC²+BC²=AC²，即四邊形ABCD是勾股四邊形．

點評 本題考查勾股定理，及考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．