Question

5．如圖，點C是以AB為直徑的圓O上一點，直線AC與過B點的切線相交于D，點E是BD的中點，直線CE交直線AB于點F．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若ED=3，cosF=$\frac{4}{5}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連CB、OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ABD=90°，根據(jù)圓周角定理由AB是直徑得到∠ACB=90°，即∠BCD=90°，則根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CE=BE，所以∠BCE=∠CBE，所以O(shè)BC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得CF是⊙O的切線；
（2）CE=BE=DE=3，在Rt△BFE中，利用cosF=$\frac{BF}{EF}$=$\frac{4}{5}$，得出tanF=$\frac{BE}{BF}$=$\frac{3}{4}$，可計算出BF=4，再利用勾股定理可計算出EF=5，所以CF=CE+EF=8，然后在Rt△OCF中，利用正切定義可計算出OC．

解答 （1）證明：連CB、OC，如圖，
∵BD為⊙O的切線，
∴DB⊥AB，
∴∠ABD=90°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
∵E為BD的中點，
∴CE=BE，
∴∠BCE=∠CBE，
而∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切線；
（2）解：CE=BE=DE=3，
在Rt△BFE中，cosF=$\frac{4}{5}$，tanF=$\frac{BE}{BF}$=$\frac{3}{4}$，
∴BF=4，
∴EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{E}^{2}}$=5，
∴CF=CE+EF=8，
在Rt△OCF中，tanF=$\frac{OC}{CF}$=$\frac{3}{4}$，
∴OC=6，
即⊙O的半徑為6．

點評 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了勾股定理、圓周角定理．