Question

17．任意寫一個(gè)個(gè)位數(shù)字不為零的四位正整數(shù)A，將該正整數(shù)A的各位數(shù)字順序顛倒過(guò)來(lái)，得到四位正整數(shù)B，則稱A和B為一對(duì)四位回文數(shù)．例如A=2016，B=6102，則A和B就是一對(duì)四位回文數(shù)，現(xiàn)將A的回文數(shù)B從左往右，依次順取三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)新數(shù)，最后不足三個(gè)數(shù)字時(shí)，將開(kāi)頭的一個(gè)數(shù)字或兩個(gè)數(shù)字順次接到末尾，在組成三位新數(shù)時(shí)，如遇最高位數(shù)字為零，則去掉最高位數(shù)字，由剩下的兩個(gè)或一個(gè)數(shù)字組成新數(shù)，將得到的所有新數(shù)求和，把這個(gè)和稱為A的回文數(shù)B作三位數(shù)的和．例如將6102依次順取三個(gè)數(shù)字組成的新數(shù)分別為：610，102，26，261，它們的和為：610+102+26+261=999，把999稱為2016的回文數(shù)作三位數(shù)的和．
（1）請(qǐng)直接寫出一對(duì)四位回文數(shù)：猜想一個(gè)四位正整數(shù)的回文數(shù)作三位數(shù)的和能否被111整除？并說(shuō)明理由；
（2）已知一個(gè)四位正整數(shù)$\overline{1x1y}$（千位數(shù)字為1，百位數(shù)字為x且0≤x≤9，十位數(shù)字為1，個(gè)位數(shù)字為y且0≤y≤9）的回文數(shù)作三位數(shù)的和能被27整除，請(qǐng)求出x與y的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 根據(jù)回文數(shù)的概念、根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則解答即可．

解答 解：（1）一個(gè)四位正整數(shù)的回文數(shù)作三位數(shù)的和能否被111整除．
例如A=1234和B=4321是一對(duì)四位回文數(shù)，
設(shè)一個(gè)4位數(shù)為$\overline{ABCD}$（A，B，C，D為整數(shù)），則這個(gè)數(shù)的回文數(shù)為$\overline{DCBA}$，
則由題知這個(gè)回文數(shù)作三位數(shù)的和為$\overline{DCB}$+$\overline{CBA}$+$\overline{BAD}$+$\overline{ADC}$=111（A+B+C+D），
∵A，B，C，D為整數(shù)，
∴A+B+C+D為整數(shù)，
∴一個(gè)四位正整數(shù)的回文數(shù)作三位數(shù)的和能被111整除；
（2）正整數(shù)$\overline{1x1y}$的回文數(shù)是y1x1，
則回文數(shù)作三位數(shù)的和為：100y+10+x+100+10x+1+100x+10+y+100+10y+1=100x+100y+222=111（x+y+2），
由題意得，x+y+2=9或x+y+2=18，
則x+y=7或x+y=16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是回文數(shù)的定義、整式的混合運(yùn)算，掌握新定義、靈活運(yùn)用整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．