Question

14．如圖，△ABC中，∠C=90°，且BC=5，它的內(nèi)切⊙O分別與邊AB、BC、CA相切于點(diǎn)D、F、E，⊙O的半徑r=2．求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 連接OF、OE．先證明四邊形OECF是正方形，從而可求得BF=DB=3，設(shè)AD=AE=x，最后再Rt△ABC中，由勾股定理列方程求解可求得x=10，從而可求得△ABC的周長(zhǎng)．

解答 解：如圖所示：連接OF、OE．

∵BC是圓O的切線，
∴OF⊥BC．
同理：OE⊥AC．
∴∠OFC=∠C=∠OEC=90°．
∴四邊形OECF是矩形．
∵OF=OE，
∴四邊形OECF是正方形．
∴FC=EC=2．
∴BF=3．
由切線長(zhǎng)定理可知：DB=BF=3，AD=AE．
設(shè)AD=AE=x，則AC=x+2，AB=x+3．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB²=AC²+BC²，（x+3）²=（x+2）²+5²．
解得：x=10．
∴AC=10+2=12，AB=10+3=13．
∴△ABC的周長(zhǎng)=12+13+5=30．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是三角形的內(nèi)切圓，正方形的性質(zhì)和判定、切線長(zhǎng)定理，證得四邊形OECF是正方形是解題的關(guān)鍵．