Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E．
（1）若AC=12，BC=9，求AE的長；
（2）過點D作DF⊥BC，垂足為F，則△ADE與△DFB是否全等？其說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據勾股定理求得AB，進而求得AD，然后證得△ADE∽△ACB，根據相似三角形的性質得出$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{AE}{15}$=$\frac{\frac{15}{2}}{12}$，即可求得AE=$\frac{75}{8}$；
（2）因為兩個直角三角形的斜邊AE≠BD，所以△ADE與△DFB不會全等．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=15，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{15}{2}$，
∵∠ADE=∠C=90°，∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{AE}{15}$=$\frac{\frac{15}{2}}{12}$，
∴AE=$\frac{75}{8}$，；
（2）不全等，
理由：∵AB=15，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{15}{2}$，
∵AE=$\frac{75}{8}$，
∴AE≠BD，
∴△ADE與△DFB不會全等．

點評 本題考查了線段垂直平分線的性質，勾股定理的應用，三角形全等的判定，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．