Question

8．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點P為線段AB上一動點，直線PQ⊥AC于點Q，點A關于PQ的對稱點A′落在直線AC上，若△A′PC為等腰三角形，則AP的長為$\frac{20}{13}$．

Answer 1

分析 由勾股定理求出AB，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)解答即可．

解答 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}=5$，
∵直線PQ⊥AC于點Q，點A關于PQ的對稱點A′落在直線AC上，
∴PA=PA'，AQ=A'Q，
∵△A′PC為等腰三角形，
∴PA'=A'C，
∵PQ⊥AC，∠ACB=90°，
∴設PA=5x，AQ=QA'=4x，A'C=PA'=PA=5x，
∴4x+4x+5x=4，
解得：x=$\frac{4}{13}$，
∴PA=$5×\frac{4}{13}=\frac{20}{13}$．
故答案為：$\frac{20}{13}$

點評 本題考查了軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；關鍵是由勾股定理求出AB進行解答．