Question

19．如圖，直線AC∥BD，P在直線AB上（不與點(diǎn)A，B重合）．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在如圖所示的位置時，∠PCA=30°，∠PDB=25°，則∠CPD=55°．
（2）猜想，當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時，∠PCA，∠PDB，∠CPD之間的數(shù)量關(guān)系∠CPD=∠PCA+∠PDB．
（3）說明（2）中的猜想成立的理由．
（4）當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上（不在線段AB上）運(yùn)動時，試探究∠PCA，∠PDB，∠CPD之間的數(shù)量關(guān)系（畫圖并直接寫出結(jié)論即可）

Answer 1

分析 （1）如圖①，過P點(diǎn)作PE∥AC交CD于E點(diǎn)，由于AC∥BD，則PE∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CPE=∠PCA=20°，∠DPE=∠PDB=30°，所以∠CPD=50°；
（2）根據(jù)（1）可得結(jié)論；
（3）證明方法與（1）一樣；
（4）過P點(diǎn)作PF∥BD交CD于F點(diǎn)，由于AC∥BD，則PF∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CPF=∠PCA，∠DPF=∠PDB，所以∠CPD=∠PCA-∠PDB．

解答 解：（1）如圖①，過P點(diǎn)作PE∥AC交CD于E點(diǎn)，
∵AC∥BD
∴PE∥BD，
∴∠CPE=∠PCA=30°，∠DPE=∠PDB=25°，
∴∠CPD=∠CPE+∠DPE=55°，
故答案為：55；

（2）∠CPD=∠PCA+∠PDB，
故答案為：∠CPD=∠PCA+∠PDB；

（3）過P點(diǎn)作PE∥AC交CD于E點(diǎn)，
∵AC∥BD
∴PE∥BD，
∴∠CPE=∠PCA，∠DPE=∠PDB，
∴∠CPD=∠CPE+∠DPE；

（3）∠CPD=∠PCA-∠PDB．理由如下：
如圖②，過P點(diǎn)作PF∥BD交CD于F點(diǎn)，
∵AC∥BD，
∴PF∥AC，
∴∠CPF=∠PCA，∠DPF=∠PDB，
∴∠CPD=∠CPF-∠DPF=∠PCA-∠PDB．

點(diǎn)評 本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．合理添加平行線是解決此題的關(guān)鍵．