Question

13．如圖，直線y=-$\frac{1}{2}$x+2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，C和點(diǎn)A（-1，0）．
（1）求B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（3）若拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明問題．

Answer 1

分析 （1）由直線y=-$\frac{1}{2}$x+2即可求得B、C的坐標(biāo)；
（2）待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（3）過C點(diǎn)作CM⊥EF于M，設(shè)E（a，-$\frac{1}{2}$a+2），F(xiàn)（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），則EF=-$\frac{1}{2}$a²+2a，然后根據(jù)S_{四邊形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF即可得出S關(guān)于a的解析式，根據(jù)解析式的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值，進(jìn)而求得E的坐標(biāo)；
（4）先求得CD的長，然后根據(jù)△CDP是以CD為腰的等腰三角形，求得CP₁=DP₂=DP₃=CD，作CE⊥對稱軸于E，得出EP₁=ED=2，DP₁=4，從而求得P₁（$\frac{3}{2}$，4），P₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．

解答 解：（1）令x=0，則y=-$\frac{1}{2}$x+2=2；令y=0，則0=-$\frac{1}{2}$x+2，解得x=4，
所以B（4，0），C（0，2）；

（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
把A、B的坐標(biāo)代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
∴該二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（3）如圖2，過C點(diǎn)作CM⊥EF于M，
設(shè)E（a，-$\frac{1}{2}$a+2），F(xiàn)（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2）
∴EF=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2-（-$\frac{1}{2}$a+2）=-$\frac{1}{2}$a²+2a，（0≤a≤4），
∵S_{四邊形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF=$\frac{1}{2}$BD•OC+$\frac{1}{2}$EF•CM+$\frac{1}{2}$EF•BN
=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$a（-$\frac{1}{2}$a²+2a）+$\frac{1}{2}$（4-a）（-$\frac{1}{2}$a²+2a）
=-a²+4a+$\frac{5}{2}$
=-（a-2）²+$\frac{13}{2}$，（0≤a≤4），
∴a=2時(shí)，S_{四邊形CDBF}的最大值為$\frac{13}{2}$；
∴E（2，1）；

（4）存在，
如圖3，∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2的對稱軸x=-$\frac{2a}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{3}{2}$，
∴OD=$\frac{3}{2}$，
∵C（0，2），
∴OC=2，
在RT△OCD中，由勾股定理得CD=$\frac{5}{2}$，
∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，
∴CP₁=DP₂=DP₃=CD，
如圖所示，作CE⊥對稱軸于E，
∴EP₁=ED=2，
∴DP₁=4，
∴P₁（$\frac{3}{2}$，4），P₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的最值，線段的長度，等腰三角形的性質(zhì)等，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．