Question

5．如圖，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是△ABC的平分線．求證：AE+BE=BC．

Answer 1

分析 延長BE到F，使BF=BC，連接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通過△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，證得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到結(jié)論．

解答 解：如圖，延長BE到F，使BF=BC，連接FC，
∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=20°，
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=80°，
∴∠FCE=∠ACB=40°，
在BC上取CF′=CF，連接EF′，
在△FCE與△F′CE中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF′}&{\;}\\{∠F′CE=∠FCE}&{\;}\\{CE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△FCE≌△F′CE（SAS），
∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，
∴∠BF′E=100°，
∴∠A=∠BF′E，
在△ABE與△BF′E中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BF′E}&{\;}\\{∠ABE=∠F′BE}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△F′BE（AAS），
∴AE=EF′，
∴AE=EF，
∴AE+BE=BE+EF=BC．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．