Question

9．如圖，△ABC和△DEF都是等邊三角形，點D、E、F分別在邊AB、BC、AC上，BH⊥DE于H，交AC于G，求證：AG+CF=2BD．

Answer 1

分析 如圖，在CA上取一點K，使得CE=CK，連接EK，DK，BK交DE于I，連接FI．首先證明四邊形DBEK是平行四邊形，推出DI=IE，BI=IK，推出FI∥BG，推出FG=FK，
推出AF-AG=FC-KC，即BD-AG=CF-BD，由此即可證明．

解答 證明：如圖，在CA上取一點K，使得CE=CK，連接EK，DK，BK交DE于I，連接FI．

∵△ABC，△DEF都是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，DE=DF=EF，∠A=∠B=∠C=60°，∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠BED=120°，∠BED+∠FEC=120°，
∴∠BDE=∠FEC，
在△BDE和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠C}\\{∠BDE=∠FEC}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CEF，
∴BD=CE，同理可證AF=EC，
∵CE=CK，∠C=60°，
∴△EKC是等邊三角形，
∴∠KEC=∠ABC=60°，EC=EK=BD，
∴BD∥EK，BD=EK，
∴四邊形DBEK是平行四邊形，
∴DI=IE，BI=IK，
∵FD=FE，
∴FI⊥DE，
∵BG⊥DE，
∴FI∥BG，∵BI=IK，
∴FG=FK，
∴AF-AG=FC-KC=FC-AF，
∴BD-AG=FC-BD，
∴AG+CF=2BD．

點評 本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、平行線等分線段定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，題目比較難，屬于中考壓軸題．