Question

5．如圖，已知拋物線y=m（x+1）（x-2）（m為常數(shù)，且m＞0）與x軸從左至右依次交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA=OC，經(jīng)過點B的直線與拋物線的另一交點D在第二象限．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式．
（2）在第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）若∠DBA=30°，設(shè)F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當(dāng)點F的坐標(biāo)是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？

Answer 1

分析 （1）首先求出點A、B坐標(biāo)，然后根據(jù)OA=OC，求得點D坐標(biāo)，代入拋物線y=m（x+1）（x-2）（m為常數(shù)，且m＞0），求得拋物線解析式；
（2）因為點P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．因此若兩個三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答圖2，按照以上兩種情況進行分類討論，分別計算；
（3）由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF，運動時間：t=AF+$\frac{1}{2}$DF．如答圖3，作輔助線，將AF+$\frac{1}{2}$DF轉(zhuǎn)化為AF+FG；再由垂線段最短，得到垂線段AH與直線BD的交點，即為所求的F點．

解答 解：（1）拋物線y=m（x+1）（x-2）（m為常數(shù)，且m＞0）與x軸從左至右依次交于A、B兩點，
令y=0，解得x=-1或x=2，
則A（-1，0），B（2，0），
∵OA=OC，
∴C（0，-1），
∵點C（0，-1）在拋物線y=m（x+1）（x-2）上，
∴m×（0+1）×（0-2）=-1，
解得m=$\frac{1}{2}$．
∴拋物線的函數(shù)表達式為：y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-2）．
（2）因為點P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．
因此若兩個三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．

①若△ABC∽△APB，則有∠BAC=∠PAB，如答圖2-1所示．
設(shè)P（m，n），過點P作PN⊥x軸于點N，則ON=m，PN=n．
tan∠BAC=tan∠PAB，即：n=m+1，
∴P（m，m+1），代入拋物線解析式y(tǒng)=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-2），
得$\frac{1}{2}$（m+1）（m-2）=m+1，
解得：m=4或m=-1（與點A重合，舍去），
∴P（4，5）（不合題意舍去）．
②若△ABC∽△PAB，則有∠ABC=∠PAB，如答圖2-2所示．
設(shè)P（m，n），過點P作PN⊥x軸于點N，則ON=m，PN=n．
tan∠ABC=tan∠PAB，即：$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{m+1}$，n=$\frac{1}{2}$（m+1），
∴P[m，$\frac{1}{2}$（m+1）]，代入拋物線解析式y(tǒng)=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-2），
得$\frac{1}{2}$（m+1）（m-2）=$\frac{1}{2}$（m+1），
解得：m=3或m=-1（與點A重合，舍去），
∴P（3，2）（不合題意舍去）．
故不存在點P的坐標(biāo)；
（3）∵∠DBA=30°，
∴設(shè)直線BD的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
∵B（2，0），
∴0=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2+b，解得b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故直線BD的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
聯(lián)立兩解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{1}{2}（x+1）（x-2）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{2\sqrt{3}+3}{3}}\\{{y}_{2}=\frac{3\sqrt{3}+2}{3}}\end{array}\right.$．
則D（-$\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}+2}{3}$），
如答圖3，過點D作DN⊥x軸于點N，過點D作DK∥x軸，則∠KDF=∠DBA=30°．過點F作FG⊥DK于點G，則FG=$\frac{1}{2}$DF．

由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF，運動時間：t=AF+$\frac{1}{2}$DF，
∴t=AF+FG，即運動的時間值等于折線AF+FG的長度值．
由垂線段最短可知，折線AF+FG的長度的最小值為DK與x軸之間的垂線段．
過點A作AH⊥DK于點H，則t_最小=AH，AH與直線BD的交點，即為所求的F點．
∵A點橫坐標(biāo)為-1，直線BD解析式為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（-1）+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴F（-1，$\sqrt{3}$）．
綜上所述，當(dāng)點F坐標(biāo)為（-1，$\sqrt{3}$）時，點M在整個運動過程中用時最少．

點評 本題是二次函數(shù)壓軸題，難度很大．第（2）問中需要分類討論，避免漏解；在計算過程中，解析式中含有未知數(shù)m，增加了計算的難度，注意解題過程中的技巧；第（3）問中，運用了轉(zhuǎn)化思想使得試題難度大大降低，需要認(rèn)真體會．