Question

4．如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，AC=8cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿BA方向以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，以AP為一邊向上作正方形APDE，過點(diǎn)Q作QF∥BC，交AC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，正方形和梯形重合部分的面積為Scm²．
（1）當(dāng)t=3s時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合；
（2）當(dāng)t=$\frac{12}{5}$s時(shí)，點(diǎn)D在QF上；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在Q，B兩點(diǎn)之間（不包括Q，B兩點(diǎn)）時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）是否存在某一時(shí)刻，使得正方形APDE的面積被直線QF平分？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，此時(shí)AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=6，由此列一元一次方程求出t的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在QF上時(shí)，如答圖1所示，此時(shí)AP=BQ=t．由相似三角形比例線段關(guān)系可得PQ=$\frac{1}{2}$t，從而由關(guān)系式AP+PQ+BQ=AB=6，列一元一次方程求出t的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在Q，B兩點(diǎn)之間（不包括Q，B兩點(diǎn)）時(shí)，運(yùn)動(dòng)過程可以劃分為兩個(gè)階段：
①當(dāng)3＜t≤4時(shí)，如圖3所示，此時(shí)重合部分為梯形PDGQ．先計(jì)算梯形各邊長，然后利用梯形面積公式求出S；
②當(dāng)4＜t＜6時(shí)，如圖4所示，此時(shí)重合部分為一個(gè)多邊形．面積S由關(guān)系式“S=S_{正方形APDE}-S_△AQF-S_△DMN”求出；
（4）根據(jù)當(dāng)3＜t≤4時(shí)，正方形APDE的面積被直線QF平分，求出時(shí)間t．

解答 解：（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=6，
∴t+t=6，解得t=3s，
故答案：3．
（2）當(dāng)點(diǎn)D在QF上時(shí)，如圖1所示，此時(shí)AP=BQ=t．
∵QF∥BC，APDE為正方形，
∴△PQD∽△ABC，
∴DP：PQ=AC：AB=2，
則PQ=$\frac{1}{2}$DP=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$t，
AP+PQ+BQ=AB=6，得t+$\frac{1}{2}$t+t=6，
解得：t=$\frac{12}{5}$．
故答案：$\frac{12}{5}$．
（3）當(dāng)P、Q重合時(shí)，由（1）知，此時(shí)t=3，
當(dāng)D點(diǎn)在BC上時(shí)，如圖2所示，
AP=BQ=t，BP=$\frac{1}{2}$t，
求得t=4s，
可知此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，
當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，此時(shí)t=6，
因此當(dāng)P點(diǎn)在Q，B兩點(diǎn)之間（不包括Q，B兩點(diǎn)）時(shí)，其運(yùn)動(dòng)過程可分析如下：
①當(dāng)3＜t≤4時(shí)，如圖3所示，
此時(shí)重合部分為梯形PDGQ．
此時(shí)AP=BQ=t，
∴AQ=6-t，PQ=AP-AQ=2t-6，
易知△ABC∽△AQF，
可得AF=2AQ，EF=2EG．
∴EF=AF-AE=2（6-t）-t=12-3t，EG=$\frac{1}{2}$EF=6-$\frac{3}{2}$t，
∴DG=DE-EG=t-（6-$\frac{3}{2}$t）=$\frac{5}{2}$t-6．
S=S_梯形PDGQ=$\frac{1}{2}$（PQ+DG）•PD
=$\frac{1}{2}$[（2t-6）+（$\frac{5}{2}$t-6）]•t，
=$\frac{9}{4}$t²-6t；
②當(dāng)4＜t＜6時(shí)，如圖4所示，
重合部分為一個(gè)多邊形．
AP=BQ=t，
∴AQ=PB=6-t，
易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，
可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，
∴AF=12-2t，PM=12-2t．
又∵DM=DP-PM=t-（12-2t）=3t-12，
∴DN=$\frac{1}{2}$（3t-12）=$\frac{3}{2}$t-6，
DM=3t-12．
S=S_{正方形APDE}-S_△AQF-S_△DMN=AP²-$\frac{1}{2}$AQ•AF-$\frac{1}{2}$DN•DM
=t²-$\frac{1}{2}$（6-t）（12-2t）-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（3t-12）×（3t-12）
=-$\frac{9}{4}$t²+30t-72．
（4）由題意得，當(dāng)3＜t≤4正方形APDE的面積被直線QF平分，
$\frac{9}{4}$t²-6t=$\frac{1}{2}$t²，
解得t=$\frac{24}{7}$．

點(diǎn)評 本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，涉及到動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)線問題．第（1）（2）問均涉及動(dòng)點(diǎn)問題，列方程即可求出t的值；第（3）問涉及動(dòng)線問題，是本題難點(diǎn)所在，首先要正確分析動(dòng)線運(yùn)動(dòng)過程，然后再正確計(jì)算其對應(yīng)的面積S．本題難度較大，需要同學(xué)們具備良好的空間想象能力和較強(qiáng)的邏輯推理能力．