Question

7．如圖：已知∠AOB=30°，D是OA上一點(diǎn)，且OD=6cm，射線OC平分∠AOB，P、Q分別是射線OC、線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ+PD的最小值=3．

Answer 1

分析 如圖，作點(diǎn)Q關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接PQ′，作DQ″⊥OB于Q″交OC于P′．因?yàn)镻Q+PD=PQ′+PD，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)DQ″⊥OB時(shí)，PD+PQ的值最小，最小值為DP′+P′Q″=DQ″，由此即可解決問題．

解答 解：如圖，作點(diǎn)Q關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接PQ′，作DQ″⊥OB于Q″交OC于P′．

∵PQ+PD=PQ′+PD，
∴根據(jù)垂線段最短，當(dāng)DQ″⊥OB時(shí)，PD+PQ的值最小，最小值為DP′+P′Q″=DQ″，
∵OD=6，∠DOQ″=30°，∠DQ″O=90°，
∴DQ″=$\frac{1}{2}$OD=3，
∴PQ+PD的最小值為3．
故答案為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軸對(duì)稱-最短問題，直角三角形30度角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用對(duì)稱，根據(jù)垂線段最短解決最值問題，屬于中考常考題型．