Question

7．如圖①，在銳角△ABC中，AB=5，tanC=3，BD⊥AC于點(diǎn)D，BD=3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC交邊BC于點(diǎn)E，以PE為邊作Rt△PEF，使∠EPF=90°，點(diǎn)F在點(diǎn)P的下方，且EF∥AB．設(shè)△PEF與△ABD重疊部分圖形的面積為S（平方單位）（S＞0），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（t＞0）．
（1）求線段AC的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)△PEF與△ABD重疊部分圖形為四邊形時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）若邊EF與邊AC交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，如圖②．
①當(dāng)PQ將△PEF的面積分成1：2兩部分時(shí)，求AP的長(zhǎng)．
②直接寫(xiě)出PQ的垂直平分線經(jīng)過(guò)△ABC的頂點(diǎn)時(shí)t的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD，在Rt△BDC中，求出CD即可．
（2）①分兩種情形求解：如圖1中，當(dāng)0＜t≤1時(shí)，重疊部分是四邊形PMDN．如圖2中，當(dāng)$\frac{25}{9}$≤t＜5時(shí)，重疊部分是四邊形PNMF．
②如圖5中，當(dāng)PQ的垂直平分線經(jīng)過(guò)當(dāng)A時(shí)．根據(jù)PE=PA，可得t=5-t解決問(wèn)題．如圖6中，當(dāng)PQ的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，作EN⊥AC于N，EP交BD于M．在Rt△BQD中，根據(jù)BQ²=QD²+BD²，列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）在Rt△ABD中，∠BDA=90°，AB=5，BD=3，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BD=3，tanc=3，
∴CD=$\frac{BD}{tanC}$=$\frac{3}{3}$=1，
∴AC=AD+CD=4+1=5．

（2）如圖1中，當(dāng)0＜t≤1時(shí)，重疊部分是四邊形PMDN．

易知PA=t，AM=$\frac{4}{5}$t，PM=$\frac{3}{5}$t，DM=4-$\frac{4}{5}$t，
∴S=$\frac{3}{5}$t•（4-$\frac{4}{5}$t）=-$\frac{12}{25}$t²+$\frac{12}{5}$t．

如圖2中，當(dāng)$\frac{25}{9}$≤t＜5時(shí)，重疊部分是四邊形PNMF．

∵AB=5，AC=AD+CD=4+1=5，
∴AC=AB，
易證PB=PE=5-t，PF=$\frac{3}{4}$（5-t），PN=$\frac{4}{5}$（5-t），
S=$\frac{1}{2}$（5-t）•$\frac{3}{4}$（5-t）-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{5}$（5-t）•$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{5}$（5-t）=$\frac{9}{25}$（5-t）²．

（3）①如圖3中，PF交AC于G．

當(dāng)S_△PFQ：S_△PEQ=1：2時(shí)，
∴S_△PEQ：S_△PEF=2：3，
∴$\frac{1}{2}$•PE•PG：$\frac{1}{2}$•PE•PF=2：3，
∴PG：PF=2：3，
∴$\frac{3}{5}$t：$\frac{3}{4}$（5-t）=2：3．
∴t=$\frac{25}{11}$，即AP=$\frac{25}{11}$．
如圖4中，當(dāng)S_△PFQ：S_△PEQ=2：1時(shí)，

∴S_△PEQ：S_△PEF=1：3，
∴$\frac{1}{2}$•PE•PG：$\frac{1}{2}$•PE•PF=1：3，
∴PG：PF=1：3，
∴$\frac{3}{5}$t：$\frac{3}{4}$（5-t）=1：3．
∴t=$\frac{25}{17}$，即AP=$\frac{25}{17}$，
∴AP的值為$\frac{25}{11}$或$\frac{25}{17}$．

②如圖5中，當(dāng)PQ的垂直平分線經(jīng)過(guò)當(dāng)A時(shí)．

易知四邊形APEQ時(shí)菱形，
∴PE=PA，即t=5-t，
∴t=$\frac{5}{2}$．
如圖6中，當(dāng)PQ的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，作EN⊥AC于N，EP交BD于M．

易知四邊形PENG時(shí)矩形，四邊形DMEN時(shí)矩形，
∴PG=EN=$\frac{3}{5}$t，EM=DN=PE-PM=$\frac{1}{5}$（5-t），
QN=$\frac{4}{3}$EN=$\frac{4}{5}$t，
∴QD=$\frac{4}{5}$t-$\frac{1}{5}$（5-t）=t-1，
在Rt△BQD中，∵BQ²=QD²+BD²，
∴（5-t）²=3²+（t-1）²，
∴t=$\frac{15}{8}$．
綜上所述，t=$\frac{15}{8}$s或$\frac{5}{2}$s時(shí)，△ABC的頂點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、解直角三角形、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．