Question

13．如圖，△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點．
（1）求證：MN⊥DE；
（2）連結(jié)DM，ME，猜想∠A與∠DME之間的關(guān)系，并寫出推理過程．

Answer 1

分析 （1）連接DM、ME，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DM=$\frac{1}{2}$BC，ME=$\frac{1}{2}$BC，從而得到DM=ME，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出∠BMD+∠CME，然后根據(jù)平角等于180°表示出∠DME即可．

解答 （1）證明：連結(jié)DM，ME，
∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，
∴∠BDC=90°，∠BEC=90°，
∵M(jìn)是線段BC的中點，
∴DM=$\frac{1}{2}$BC，EM=$\frac{1}{2}$BC，
∴DM=EM，
∵N是線段DE的中點，
∴MN⊥DE；
（2）解：∠DME=180°-2∠A，
證明：∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵DM=ME=BM=MC，
∴∠BMD+∠CME=（180°-2∠ABC）+（180°-2∠ACB）
=360°-2（∠ABC+∠ACB）
=360°-2（180°-∠A）
=2∠A，
∴∠DME=180°-2∠A．

點評 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．