Question

18．如圖，直線y=kx+k交x軸，y軸分別于A，C，直線BC過點C交x軸于B，OC=3OA，∠CBA=45°．
（1）求直線BC的解析式；
（2）動點P從A出發(fā)沿射線AB勻速運動，速度為2個單位/秒，連接CP，設(shè)△PBC的面積為S，點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點P在AB的延長線上運動時，過點O作OD⊥PC于D，交BC于點E，連接AE，當(dāng)∠EAB=∠CPA時，在坐標(biāo)軸上有點K，且KC=KP，求點K的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）令y=0，即可求得A的坐標(biāo)，根據(jù)OC=3OA即可求得C的坐標(biāo)，再根據(jù)∠CBA=45°，即△BOC的等腰直角三角形，則B的坐標(biāo)即可求得，然后利用待定系數(shù)法求得BC的解析式；
（2）分成P在AB和在AB的延長線上兩種情況進行討論，利用三角形面積公式即可求解；
（3）設(shè)P的坐標(biāo)是（2t-1，0），利用待定系數(shù)法求的PC的解析式，O作OD⊥PC于D，連接AD，當(dāng)∠DAB=∠CPA，則D的橫坐標(biāo)與AB的中點的橫坐標(biāo)相等，且D到AB的距離等于$\frac{1}{2}$AB，則D的坐標(biāo)即可利用t表示出來，然后代入PC的解析式求得t的值，即可得到P的坐標(biāo)，進而求解．

解答 解：（1）在y=kx+k中，令y=0，則x=-1，即A的坐標(biāo)是（-1，0）．
∵OC=3OA，
∴OC=3，即C的坐標(biāo)是（0，3）．
∵∠CBA=45°，
∴∠OCB=∠CBA=45°，
∴OB=OC=3，則B的坐標(biāo)是（3，0）．
設(shè)BC的解析式是y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
則BC的解析式是y=-x+3；

（2）當(dāng)0＜t≤2時，P在線段AB上，則BP=4-2t，
則S=$\frac{1}{2}$（4-2t）×3=-3t+6；
當(dāng)t＞2時，OP=2t-4，則S=$\frac{1}{2}$×3（2t-4），即S=3t-6；

（3）作DF⊥AB于點F．
∵P的坐標(biāo)是（2t-1，0），A的坐標(biāo)是（-1，0）．
∴D的橫坐標(biāo)是$\frac{2t-1-1}{2}$=t-1．
∵AD⊥CP，∠DAB=∠CPA，則AD=DP，
∴△ADB是等腰直角三角形，
又∵DF⊥AB于點F，
∴DF=$\frac{1}{2}$AP=t，即D的坐標(biāo)是（t-1，t），
設(shè)PC的解析式是y=mx+n，則$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{（2t-1）m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{1-2t}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
則PC的解析式是y=$\frac{3}{1-2t}$x+3，
把D的坐標(biāo)是（t-1，t），代入解析式得，$\frac{3}{1-2t}$•（t-1）=t，
解得：t=2或0（舍去）．
則P的坐標(biāo)是（3，0）．
則PC的解析式是y=-x+3．
則B與P重合，∵OC=OB，KC=KP，
∴K與O重合，即K的坐標(biāo)是（0，0）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，正確求得D的坐標(biāo)是本題的突破點．