Question

17．如圖，正△ABO的邊長(zhǎng)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸上，B在第二象限，△ABO沿x軸正方向作無滑動(dòng)的翻滾，經(jīng)一次翻滾后得到△A₁B₁O，則翻滾3次后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（5，$\sqrt{3}$），翻滾2017次后AB中點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為（$\frac{1346\sqrt{3}}{3}$+896）π．

Answer 1

分析 如圖作B₃E⊥x軸于E，易知OE=5，B₃E=$\sqrt{3}$，觀察圖象可知3三次一個(gè)循環(huán)，一個(gè)循環(huán)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑為$\frac{120•π•\sqrt{3}}{180}$+$\frac{120π•1}{180}$+$\frac{120π•1}{180}$=（$\frac{2\sqrt{3}+4}{3}$）π，由2017÷3=672…1，可知翻滾2017次后AB中點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為672•（$\frac{2\sqrt{3}+4}{3}$）π+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π=（$\frac{1346\sqrt{3}}{3}$+896）π．

解答 解：如圖作B₃E⊥x軸于E，易知OE=5，B₃E=$\sqrt{3}$，
∴B₃（5，$\sqrt{3}$），
觀察圖象可知3三次一個(gè)循環(huán)，一個(gè)循環(huán)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑為$\frac{120•π•\sqrt{3}}{180}$+$\frac{120π•1}{180}$+$\frac{120π•1}{180}$=（$\frac{2\sqrt{3}+4}{3}$）π，
∵2017÷3=672…1，
∴翻滾2017次后AB中點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為672•（$\frac{2\sqrt{3}+4}{3}$）π+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π=（$\frac{1346\sqrt{3}}{3}$+896）π．
故答案為（$\frac{1346\sqrt{3}}{3}$+896）π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡、規(guī)律題、弧長(zhǎng)公式、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，循環(huán)從特殊到一般的探究方法，屬于中考常考題型．