Question

9．有這樣一個問題：探究同一平面直角坐標(biāo)系中系數(shù)互為倒數(shù)的正、反比例函數(shù)y=$\frac{1}{k}$x與y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象性質(zhì)．
小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y=$\frac{1}{k}$x與y=$\frac{k}{x}$，當(dāng)k＞0時的圖象性質(zhì)進(jìn)行了探究．
下面是小明的探究過程：
（1）如圖所示，設(shè)函數(shù)y=$\frac{1}{k}$x與y=$\frac{k}{x}$圖象的交點為A，B，已知A點的坐標(biāo)為（-k，-1），則B點的坐標(biāo)為（k，1）；
（2）若點P為第一象限內(nèi)雙曲線上不同于點B的任意一點．
①設(shè)直線PA交x軸于點M，直線PB交x軸于點N．求證：PM=PN．
證明過程如下：設(shè)P（m，$\frac{k}{m}$），直線PA的解析式為y=ax+b（a≠0）．
則$\left\{\begin{array}{l}{-ka+b=-1}\\{ma+b=\frac{k}{m}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=}\\{b=}\end{array}\right.$$\frac{1}{m}$
$\frac{k}{m}$-1
∴直線PA的解析式為y=$\frac{1}{m}$x+$\frac{k}{m}$-1
請你把上面的解答過程補充完整，并完成剩余的證明．
②當(dāng)P點坐標(biāo)為（1，k）（k≠1）時，判斷△PAB的形狀，并用k表示出△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正、反比例函數(shù)圖象的對稱性結(jié)合點A的坐標(biāo)即可得出點B的坐標(biāo)；
（2）①設(shè)P（m，$\frac{k}{m}$），根據(jù)點P、A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線PA的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點M的坐標(biāo)，過點P作PH⊥x軸于H，由點P的坐標(biāo)可得出點H的坐標(biāo)，進(jìn)而即可求出MH的長度，同理可得出HN的長度，再根據(jù)等腰三角形的三線合一即可證出PM=PN；
②根據(jù)①結(jié)合PH、MH、NH的長度，可得出△PAB為直角三角形，分k＞1和0＜k＜1兩種情況，利用分割圖形求面積法即可求出△PAB的面積．

解答 解：（1）由正、反比例函數(shù)圖象的對稱性可知，點A、B關(guān)于原點O對稱，
∵A點的坐標(biāo)為（-k，-1），
∴B點的坐標(biāo)為（k，1）．
故答案為：（k，1）．
（2）①證明過程如下，設(shè)P（m，$\frac{k}{m}$），直線PA的解析式為y=ax+b（a≠0）．
則$\left\{\begin{array}{l}{-ka+b=-1}\\{ma+b=\frac{k}{m}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{m}}\\{b=\frac{k}{m}-1}\end{array}\right.$，
∴直線PA的解析式為y=$\frac{1}{m}$x+$\frac{k}{m}$-1．
當(dāng)y=0時，x=m-k，
∴M點的坐標(biāo)為（m-k，0）．
過點P作PH⊥x軸于H，如圖1所示，
∵P點坐標(biāo)為（m，$\frac{k}{m}$），
∴H點的坐標(biāo)為（m，0），
∴MH=x_H-x_M=m-（m-k）=k．
同理可得：HN=k．
∴MH=HN，
∴PM=PN．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{m}}\\{b=\frac{k}{m}-1}\end{array}\right.$；y=$\frac{1}{m}$x+$\frac{k}{m}$-1．
②由①可知，在△PMN中，PM=PN，
∴△PMN為等腰三角形，且MH=HN=k．
當(dāng)P點坐標(biāo)為（1，k）時，PH=k，
∴MH=HN=PH，
∴∠PMH=∠MPH=45°，∠PNH=∠NPH=45°，
∴∠MPN=90°，即∠APB=90°，
∴△PAB為直角三角形．
當(dāng)k＞1時，如圖1，
S_△PAB=S_△PMN-S_△OBN+S_△OAM，
=$\frac{1}{2}$MN•PH-$\frac{1}{2}$ON•y_B+$\frac{1}{2}$OM•|y_A|，
=$\frac{1}{2}$×2k×k-$\frac{1}{2}$（k+1）×1+$\frac{1}{2}$（k-1）×1，
=k²-1；
當(dāng)0＜k＜1時，如圖2，
S_△PAB=S_△OBN-S_△PMN+S_△OAM，
=$\frac{1}{2}$ON•y_B-k²+$\frac{1}{2}$OM•|y_A|，
=$\frac{1}{2}$（k+1）×1-k²+$\frac{1}{2}$（1-k）×1，
=1-k²．

點評 本題考查了正（反）比例函數(shù)的圖象、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、等腰三角形的判定以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)正、反比例函數(shù)圖象結(jié)合點A的坐標(biāo)求出點B的坐標(biāo)；（2）①利用等腰三角形的三線合一證出PM=PN；②分k＞1和0＜k＜1兩種情況求出△PAB的面積．