Question

13．如圖，已知直線y=mx+n與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$交于A、B兩點，點A在點B的左邊，與x軸、y軸分別交點C、點D，AE⊥x軸于E，BF⊥y軸于F．
（1）若m=k，n=0，求A、B；兩點的坐標(biāo)；
（2）如圖1，若A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），寫出y₁+y₂與n的大小關(guān)系，并證明；
（3）如圖2，M、N分別為反比例函數(shù)y=$\frac{x}$圖象上的點，AM∥MN∥x軸．若$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{BN}$=$\frac{5}{3}$，且AM、BN之間的距離為5，則k-b=3．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=k}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-k}\end{array}\right.$，即可得出答案；
（2）把若A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）代入y=mx+n得出y₁+y₂=m（x₁+x₂）+2n，由$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$得出mx²+nx-k=0，由根與系數(shù)關(guān)系得出x₁+x₂=-$\frac{n}{m}$，得出y₁+y₂=n即可；
（3）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則M（x₃，y₁）、N（x₄，y₂），由反比例函數(shù)得出x₁y₁=x₂y₂=k，x₃y₁=x₄y₂=b，由坐標(biāo)與圖形性質(zhì)得出AM=x₃-x₁=$\frac{{y}_{1}}$-$\frac{k}{{y}_{1}}$=$\frac{b-k}{{y}_{1}}$，bn=x₂-x₄=$\frac{k}{{y}_{2}}$-$\frac{{y}_{2}}$=$\frac{k-b}{{y}_{2}}$，y₂-y₁=5，再結(jié)合已知條件，即可得出答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=k}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-k}\end{array}\right.$，
∴A（1．k），B（-1，-k）；
（2）y₁+y₂=n；理由如下：
把若A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）代入y=mx+n中，
則y₁=mx₁+n，y₂=mx₂+n，
∴y₁+y₂=m（x₁+x₂）+2n，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$得：mx+n=$\frac{k}{x}$，
∴mx²+nx-k=0，
∵直線y=mx+n與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$交于A、B兩點，
∴x₁+x₂=-$\frac{n}{m}$，
∴y₁+y₂=m•（-$\frac{n}{m}$）+2n=-n+2n=n；
（3）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵AM∥MN∥x軸．∴M（x₃，y₁）、N（x₄，y₂），
∴x₁y₁=x₂y₂=k，x₃y₁=x₄y₂=b，AM=x₃-x₁=$\frac{{y}_{1}}$-$\frac{k}{{y}_{1}}$=$\frac{b-k}{{y}_{1}}$，bn=x₂-x₄=$\frac{k}{{y}_{2}}$-$\frac{{y}_{2}}$=$\frac{k-b}{{y}_{2}}$，y₂-y₁=5，
∵$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{BN}$=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{{y}_{1}}{b-k}$+$\frac{{y}_{2}}{k-b}$=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{k-b}$=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{5}{k-b}$=$\frac{5}{3}$，
∴k-b=3；
故答案為：3．

點評 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、方程組的解法、根與系數(shù)關(guān)系等知識；本題綜合性強，有一定難度．