Question

3．如圖，在△ABC中，AB=BC，以BC為直徑的⊙O與AC交于點D，DE⊥AB于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）若sinA=$\frac{1}{3}$，DE=$\sqrt{2}$，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的判定定理得到OD∥AB，根據(jù)垂直的定義和平行線的性質(zhì)得到∠DEA=90°，根據(jù)切線的判定定理證明即可；
（2）連接BD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．

解答 （1）證明：連接OD，
∵OD=OC，
∴∠C=∠ODC，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠ODC=∠A，
∴OD∥AB，
∴∠ODE=∠DEA；
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；
（2）連接BD，
∵BC為⊙O的直徑，
∴BD⊥AC，又DE⊥AB，
∴AD²=AE•AB，
∵sinA=$\frac{1}{3}$，DE=$\sqrt{2}$，
∴AD=3$\sqrt{2}$，AE=4，
∴（3$\sqrt{2}$）²=4×AB，
解得，AB=$\frac{9}{2}$，
∴BC=$\frac{9}{2}$，
即⊙O的直徑為$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查的是切線的判定，掌握切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．