Question

16．如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，連接AC，⊙P和⊙Q分別是△ABC和△ADC的內(nèi)切圓，則PQ的長是（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出⊙P和⊙Q的半徑相等，利用直角三角形內(nèi)切圓半徑公式即可求出⊙P半徑r的長度．連接點(diǎn)P、Q，過點(diǎn)Q作QE∥BC，過點(diǎn)P作PE∥AB交QE于點(diǎn)E，求出線段QE、EP的長，再由勾股定理即可求出線段PQ的長，此題得解．

解答 解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴△ACD≌△CAB，
∴⊙P和⊙Q的半徑相等．
在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴⊙P的半徑r=$\frac{AB+BC-AC}{2}$=$\frac{3+4-5}{2}$=1．
連接點(diǎn)P、Q，過點(diǎn)Q作QE∥BC，過點(diǎn)P作PE∥AB交QE于點(diǎn)E，則∠QEP=90°，如圖所示．

在Rt△QEP中，QE=BC-2r=3-2=1，EP=AB-2r=4-2=2，
∴PQ=$\sqrt{Q{E}^{2}+E{P}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是求出⊙P和⊙Q的半徑．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題時(shí)，巧妙的借用了直角三角形內(nèi)切圓的半徑公式求出了⊙P和⊙Q的半徑．