Question

16．等邊△ABC和等邊△BDE，A、B、E在同-直線上，P是直線AB上一動點，從A向B方向移動．∠CPF=∠A，PF交射線BD于F．
（1）如圖，P在線段AB上，探究線段PC與PF之間的關系并證明；
（2）當P在線段AB延長線上，請自行畫圖探究線段PC與PF之間的關系并證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接CF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ABC=∠DBE=60°，由平角的定義得到∠CBD=60°，根據(jù)已知條件推出C，P，B，F(xiàn)四點共圓，于是得到∠CFP=∠ABC=60°，根據(jù)等邊三角形的判定即可得到結論；
（2）如圖2，連接CF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ABC=∠DBE=60°，由平角的定義得到∠CBD=60°，推出C，P，B，F(xiàn)四點共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠FCP=∠DBE=60°，即可得到結論．

解答 解：（1）PC=PF，
如圖1，連接CF，
∵△ABC與△BDE是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=∠DBE=60°，
∵A、B、E在同-直線上，
∴∠CBD=60°，
∵∠CPF=∠A=60°，
∴∠CPF=∠CBF，
∴C，P，B，F(xiàn)四點共圓，
∴∠CFP=∠ABC=60°，
∴∠PCF=180°-∠CPF-∠CFP=60°，
∴∠CPF=∠PCF=∠PFC，
∴PC=PF；

（2）如圖2，連接CF，
∵△ABC與△BDE是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=∠DBE=60°，
∵A、B、E在同-直線上，
∴∠CBD=60°，
∵∠CPF=∠A=60°，
∴∠CPF=∠CBF，
∴C，P，B，F(xiàn)四點共圓，
∴∠FCP=∠DBE=60°，
∴△FCP是等邊三角形，
∴PC=PF．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，四點共圓，圓周角定理，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．