Question

10．如圖，一張矩形紙片ABCD中，AD＞AB將矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)D落到BC邊上的點(diǎn)D′，折痕AE交DC于點(diǎn)E．
（1）試用尺規(guī)在圖中作出點(diǎn)D′和折痕AE（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
（2）若AD=5，AB=4．
①求ED的長(zhǎng)．
②若痕AE上存在一點(diǎn)F，它到點(diǎn)D的距離等于它到邊BC的距離，在圖中畫(huà)出這個(gè)點(diǎn)，并直接寫(xiě)出FD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）以AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與BC交于點(diǎn)D′，再做出∠DAD′的平分線，即可得出符合要求的圖形；
（2）利用勾股定理以及翻折變換性質(zhì)得出DE=D′E=x，EC=4-x，進(jìn)而得出即可；
②過(guò)D′作CB的垂線交AE于F，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知，F(xiàn)即為所求，證明△ABG∽△FD′G，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，求出FD′的值，得到FD的長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖所示：
（2）①∵AD=5，AB=4，
∴AD′=5，
∴BD′=$\sqrt{AD{′}^{2}-A{B}^{2}}$=3，
∴CD′=5-3=2，
設(shè)DE=D′E=x，
則EC=4-x，
故EC²+D′C²=D′E²，
即（4-x）²+2²=x²，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
故ED的長(zhǎng)為：$\frac{5}{2}$．
②如圖所示，過(guò)D′作CB的垂線交AE于F，
由翻折變換的性質(zhì)可知，DF=FD′，
分別延長(zhǎng)AE，BC相交于點(diǎn)G，
∵AD平行于CB，
∴∠DAG=∠AGC，
∵∠DAG=∠D′AG，AGC=∠D′AG，
∴GD′=AD′=AD=5，
∵D′F⊥CB，
∴FD′∥AB，
∴△ABG∽△FD′G，
∵Rt△ABD′中，AD′=5，AB=4，
∴BD′=3，BG=BD′+D′G=3+5=8，
∴△ABG與△FD′G的相似比為8：5，
∴AB：FD′=8：5，
∵AB=4，
∴FD′=2.5，即FD=2.5．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圖形的翻折變換以及勾股定理和基本作圖，熟練應(yīng)用翻折變換圖形翻折前后圖形不變是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．