Question

8．如圖，已知在△ABC中，AB=AC=10，tan∠B=$\frac{4}{3}$
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，不重合的兩動(dòng)點(diǎn)M、N在邊BC上（點(diǎn)M、N不與點(diǎn)B、C重合），且點(diǎn)N始終在點(diǎn)M的右邊，聯(lián)結(jié)DN、EM，交于點(diǎn)O，設(shè)MN=x，四邊形ADOE的面積為y．
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
②當(dāng)△OMN是等腰三角形且BM=1時(shí)，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BC于D，如圖1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BH=CH，在Rt△ABH中利用正切的定義的tan∠B=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{4}{3}$，設(shè)AH=4a，BH=3a，由勾股定理得到AB=5a，則5a=10，解得a=2，所以BC=2BH=12；
（2）①連結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥BC于K，交DE于J，如圖2，利用三角形中位線性質(zhì)得到DE∥MN，DE=$\frac{1}{2}$BC=6，JK=$\frac{1}{2}$AH=4，則△DOE∽△NOM，根據(jù)相似比得OJ=$\frac{24}{x+6}$，然后利用三角形面積公式和y=S_△ADE+S_△DOE得y=$\frac{12x+144}{x+6}$（0＜x＜12）；
②作EF⊥BC于F，如圖2，由于EF=JK=4，CE=$\frac{1}{2}$AC=5，則CF=3，MF=8，分類討論：當(dāng)OM=ON時(shí)，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得MK=MN=$\frac{1}{2}$x，證明△MOK∽△MEF，利用相似比得到OK=$\frac{1}{4}$x，然后利用△DOE∽△NOM得到$\frac{6}{x}$=$\frac{4-\frac{1}{4}x}{\frac{1}{4}x}$，解得x=10；當(dāng)OM=MN=x，利用相似比可證得DE=EO=6，接著在Rt△MEF中利用勾股定理計(jì)算出ME=4$\sqrt{5}$，則x+6=4$\sqrt{5}$，所以x=4$\sqrt{5}$-6；當(dāng)MN=ON=x時(shí)，同理得DO=DE=6，則DN=6+x，作DG⊥BC于G，如圖2，易得DG=4，BG=3，GN=BM+MN-BG=x-2，然后在Rt△DNG中利用勾股定理得到∴4²+（x-2）²=（x+6）²，解得x=-1（舍去），于是得到MN的長(zhǎng)為10或4$\sqrt{5}$-6．

解答 解：（1）作AH⊥BC于D，如圖1，
∵AB=AC=10
∴BH=CH，
在Rt△ABH中，tan∠B=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{4}{3}$，
設(shè)AH=4a，BH=3a，
∴AB=$\sqrt{A{H}^{2}+B{H}^{2}}$=5a，
∴5a=10，解得a=2，
∴BC=2BH=12；
（2）①連結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥BC于K，交DE于J，如圖2，
∵點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE∥MN，DE=$\frac{1}{2}$BC=6，JK=$\frac{1}{2}$AH=4，
∴△DOE∽△NOM，
∴$\frac{DE}{MN}$=$\frac{OJ}{OK}$，即$\frac{6}{x}$=$\frac{OJ}{4-OJ}$，
∴OJ=$\frac{24}{x+6}$，
∴y=S_△ADE+S_△DOE
=$\frac{1}{2}$×6×4+$\frac{1}{2}$×6×$\frac{24}{x+6}$
=$\frac{12x+144}{x+6}$（0＜x＜12）；
②作EF⊥BC于F，如圖2，
∵EF=JK=4，CE=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴CF=$\sqrt{E{C}^{2}-E{F}^{2}}$=3，
∴BF=9，
而BM=1，
∴MF=8，
當(dāng)OM=ON時(shí)，∵OK⊥MN，
∴MK=MN=$\frac{1}{2}$x，
∵OK∥EF，
∴△MOK∽△MEF，
∴$\frac{MK}{MF}$=$\frac{OK}{EF}$，即$\frac{\frac{1}{2}x}{8}$=$\frac{OK}{4}$，解得OK=$\frac{1}{4}$x，
∴△DOE∽△NOM，
∴$\frac{DE}{MN}$=$\frac{OJ}{OK}$，即$\frac{6}{x}$=$\frac{4-\frac{1}{4}x}{\frac{1}{4}x}$，解得x=10，
即MN=10；
當(dāng)OM=MN=x，
∵DE∥BC，
∴$\frac{DE}{MN}$=$\frac{EO}{MO}$，
∴DE=EO=6，
在Rt△MEF中，∵EF=4，MF=8，
∴ME=$\sqrt{E{F}^{2}+M{F}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
而ME=OM+OE，
∴x+6=4$\sqrt{5}$，解得x=4$\sqrt{5}$-6，
即MN的長(zhǎng)為4$\sqrt{5}$-6；
當(dāng)MN=ON=x時(shí)，同理得DO=DE=6，
∴DN=6+x，
作DG⊥BC于G，如圖2，易得DG=4，BG=3，
∴GN=BM+MN-BG=x+1-3=x-2，
在Rt△DNG中，∵DG²+GN²=DN²，
∴4²+（x-2）²=（x+6）²，解得x=-1（舍去），
綜上所述，MN的長(zhǎng)為10或4$\sqrt{5}$-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似形的綜合題：熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；合理添加輔助線構(gòu)造相似圖形，然后利用相似的性質(zhì)計(jì)算相應(yīng)線段的長(zhǎng)；同時(shí)會(huì)利用勾股定理和三角形中位線定理；學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．