Question

8．如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使CE=CD．
（1）求證：DB=DE；
（2）過點A作AF∥BC，交ED的延長線于點F，連接BF，求證：AB垂直平分DF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根據(jù)角之間的關(guān)系求得∠DBC=∠CED，根據(jù)等角對等邊即可得到DB=DE；
（2）只要證明AF=AD，BF=BD即可解決問題；

解答 （1）證明：證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三線合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=$\frac{1}{2}$∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角對等邊）．

（2）證明：∵AF∥BE，
∴∠AFD=∠CED，
∵AD=DC，
∴∠ADF=∠CDE，
∴△AFD≌△CED，
∴AF=CE=CD=AD，DF=DE=BD，
∵∠FDB=∠DBE+∠E=60°，
∴△BDF是等邊三角形，
∴BF=BD，∵AF=AD，
∴AB垂直平分DF．

點評 本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．線段的垂直平分線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考�？碱}型．