Question

4．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任一點（不與A，B重合），AB⊥CD于E，BF為⊙O的切線，OF∥AC，連結AF，F(xiàn)C，AF與CD交于點G，與⊙O交于點H，連結CH．
（1）求證：FC是⊙O的切線；
（2）若cos∠AOC=$\frac{2}{3}$，⊙O的半徑為r，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質和等腰三角形的性質求得∠BOF=∠COF，然后證得△BOF≌△COF，得到∠OCF=∠OBF=90°，即可證得結論；
（2）延長AC、BF交點為M，先根據三角形全等和平行線的性質求得∠MCF=∠M，即可證得FM=CF，進一步證得BF=MF，證得△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM，根據相似三角形的性質證得GC=GE，解直角三角形求得
OE，進一步得到AE，根據勾股定理EC，AC，進一步得到EG，然后由三角形相似的性質求得BF，根據勾股定理即可求得AF．

解答 （1）證明：∵OF∥AC，
∴∠BOF=∠OAC，∠COF=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠BOF=∠COF，
在△BOF和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BO=CO}\\{∠BOF=∠COF}\\{OF=OF}\end{array}\right.$ 
∴△BOF≌△COF，
∴∠OCF=∠OBF=90°，
又∵點C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切線
（2）解：延長AC、BF交點為M，
∵△BOF≌△COF，
∴BF=CF，∠BFO=∠CFO，
∵OF∥AM，
∴∠OFC=∠MCF，∠BFO=∠M，
∴∠MCF=∠M，
∴FM=CF，
∴BF=MF，
∵DC∥BM，
∴△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM，
∴$\frac{EG}{BF}=\frac{AG}{AF}=\frac{GC}{FM}$，
∴GC=GE；
∵cos∠AOC=$\frac{2}{3}$，
∴OE=$\frac{2}{3}$r，
∴AE=r-$\frac{2}{3}$r=$\frac{1}{3}$r．
∴EC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$r．
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+E{C}^{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$r．
∵EG=GC，
∴EG=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{{\sqrt{5}}}{6}$r．
∵△AEG∽△ABF，
∴$\frac{EG}{BF}$=$\frac{AE}{AB}$，即$\frac{\frac{\sqrt{5}}{6}r}{BF}$=$\frac{\frac{1}{3}r}{2r}$
∴BF=$\sqrt{5}$r．
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=3r．

點評 本題考查了切線的判定和性質，角平分線的性質，勾股定理的應用，三角形全等的判定和性質，三角形相似的判定和性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．