Question

2．如圖所示，拋物線y=ax²+bx-$\sqrt{3}$與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中A，B兩點的坐標分別為（-1，0），（3，0）．點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段AB向終點B運動；同時點Q從點B出發(fā)，以相同的速度沿線段BC向終點C運動，當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，連接PQ．設(shè)點P運動的時間為t秒．
（1）求拋物線及直線BC的函數(shù)表達式．
（2）設(shè)點P關(guān)于直線BC的對稱點為點D，連接DQ，BD．
①當DQ∥x軸時，求證：PQ=BD；
②在運動的過程中，點D有可能落在拋物線y=ax²+bx-$\sqrt{3}$上嗎？若能，請求出此時t的值；若不能，請說明理由．
（3）在運動的過程中，請直接寫出當點Q落在△BDP外部時t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把A，B兩點的坐標（-1，0）和（3，0）分別代入y=ax²+bx-$\sqrt{3}$中，即可得到拋物線的解析式；設(shè)直線BC的解析式為y=kx+d，把B，C兩點的坐標代入，即可得到直線BC的解析式；
（2）①由對稱性可得，PQ=DQ，根據(jù)∠DBQ=∠DQB，可得BD=QD，進而得到PQ=BD；②作DE⊥x軸于E，求得D（1+$\frac{1}{2}$t，-2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t），把點D的坐標代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，可得t的值為2；
（3）當點Q在線段PD上時，求得t=$\frac{4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$=8$\sqrt{3}$-12，當點Q與點C重合時，t=2$\sqrt{3}$，進而得出當點Q落在△BDP外部時，t的取值范圍是8$\sqrt{3}$-12＜t≤2$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）把A，B兩點的坐標（-1，0）和（3，0）分別代入y=ax²+bx-$\sqrt{3}$中，
可得$\left\{\begin{array}{l}{0=a×（-1）^{2}+b×（-1）-\sqrt{3}}\\{0=a×{3}^{2}+b×3-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，
∵拋物線y=ax²+bx-$\sqrt{3}$與y軸交于點C，
∴C（0，-$\sqrt{3}$），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+d，把B，C兩點的坐標代入，
可得$\left\{\begin{array}{l}{3k+d=0}\\{d=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{d=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$；

（2）①證明：由對稱性可得，PQ=DQ，∠PBQ=∠DBQ，
∵DQ∥x軸，
∴∠PBQ=∠DQB，
∴∠DBQ=∠DQB，
∴BD=QD，
∴PQ=BD；
②點D能落在拋物線y=ax²+bx-$\sqrt{3}$上．
∵B，C兩點的坐標分別為（3，0）和（0，-$\sqrt{3}$），
∴OB=3，OC=$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$，故點Q運動到點C所需的時間為$\frac{2\sqrt{3}}{1}$=2$\sqrt{3}$秒，
在Rt△BOC中，tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OBC=30°，
∴∠OBD=60°，
∵A，B兩點的坐標分別為（-1，0），（3，0），
∴AB=4，
∴BD=BP=4-t，點P運動到點B所需的時間為$\frac{4}{1}$=4秒，
∴t的取值范圍是：0≤t≤2$\sqrt{3}$，
如圖，作DE⊥x軸于E，

在Rt△BDE中，sin∠DBE=$\frac{DE}{BD}$，cos∠DBE=$\frac{BE}{BD}$，
∴DE=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，BE=2-$\frac{1}{2}$t，
∴OE=3-（2-$\frac{1}{2}$t）=1+$\frac{1}{2}$t，
∴D（1+$\frac{1}{2}$t，-2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t），
把點D的坐標代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，可得
-2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{3}（1+\frac{1}{2}t）^{2}-\frac{2}{3}\sqrt{3}（1+\frac{1}{2}t）-\sqrt{3}$，
解得t₁=2，t₂=4（不合題意，舍去）
∴t的值為2；

（3）如圖，當點Q在線段PD上時，

cos∠QBP=$\frac{BQ}{BP}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{t}{4-t}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得t=$\frac{4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$=8$\sqrt{3}$-12，
當點Q與點C重合時，t=2$\sqrt{3}$，
∴當點Q落在△BDP外部時，t的取值范圍是8$\sqrt{3}$-12＜t≤2$\sqrt{3}$．

點評 本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對稱的性質(zhì)、解直角三角形以及解一元二次方程的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，并將點D的坐標用含t的代數(shù)式表示出來，代入拋物線解析式進行計算求解．