Question

13．已知：如圖，AB∥CD，BG、FG 分別是∠AEF和∠CFE的角平分線，BG、FG交于點G．

（1）求證：∠BGF=90°；
（2）點M是直線AB上的動點，連接MG，過點G作GN⊥MG，交直線CD于點N，畫出圖形直線，寫出∠MGE和∠NGF的數量關系∠MGE=∠NGF；
（3）在（2）的條件下，當∠MGE=20°，∠AEG=40°時，求∠CNG的度數．

Answer 1

分析 （1）過點G作GP∥AB，根據平行線的性質，即可得出∠AEF+∠CFE=180°，∠AEG=∠EGP，∠CFG=∠FGP，再根據角平分線的定義，即可得到∠EGF=∠AEG+∠CFG=90°；
（2）分兩種情況進行討論：當點M在射線EA上時，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；當點M在射線EB上時，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；
（3）分兩種情況進行討論，根據角的和差關系以及兩直線平行，內錯角相等進行計算，即可得出∠CNG的度數．

解答 解：（1）如圖，過點G作GP∥AB，

∵AB∥CD，
∴GP∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，∠AEG=∠EGP，∠CFG=∠FGP，
∵EG、FG分別是∠AEF和∠CFE的角平分線，
∴∠AEG=$\frac{1}{2}$∠AEF，∠CFG=$\frac{1}{2}$∠CFE，
∴∠AEG+∠CFG=$\frac{1}{2}$∠AEF+$\frac{1}{2}$∠CFE=$\frac{1}{2}$（∠AEF+∠CFE）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∵∠EGF=∠EGP+∠FGP，
∴∠EGF=∠AEG+∠CFG=90°；

（2）如圖，當點M在射線EA上時，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；

當點M在射線EB上時，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；

故答案為：∠MGE=∠NGF；

（3）當點M在射線EA上時，
∵∠MGE=∠NGF，∠MGE=20°，
∴∠EGN=∠MGN-∠MGE=90°-20°=70°，
∵AB∥GP，∠AEG=40°，
∴∠PGE=∠AEG=40°，
∴∠PGN=∠EGN-∠PGE=70°-40°=30°，
∵GP∥CD，
∴∠CNG=∠PGN=30°；
當點M在射線EB上時，
∵∠MGE=∠NGF，∠MGE=20°，
∴∠NGF=20°，
∴∠EGN=∠MGN+∠MGE=90°+20°=110°，
∵AB∥GP，∠AEG=40°，
∴∠PGE=∠AEG=40°，
∴∠PGN=∠EGN-∠PGE=110°-40°=70°，
∵GP∥CD，
∴∠CNG=∠PGN=70°，
綜上所述：當∠MGE=20°，∠AEG=40°時，∠CNG=30°或70°．

點評 本題主要考查了平行線的性質，解決問題的關鍵是作輔助線構造內錯角，依據兩直線平行，內錯角相等進行計算求解．解題時注意分類思想的運用．