Question

10．如圖，直線y=-x+5與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，△BOC的面積為$\frac{5}{2}$．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若將直線y=-x+5向下平移1個(gè)單位，說(shuō)明所得直線與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的交點(diǎn)情況．

Answer 1

分析 （1）令直線y=-x+5與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及△BOC的面積是$\frac{5}{2}$即可得出BE的長(zhǎng)度，進(jìn)而可找出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出反比例函數(shù)系數(shù)k的值，可得反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)找出平移后的直線的解析式將其代入反比例函數(shù)解析式中，整理后根據(jù)根的判別式的正負(fù)即可得出結(jié)論．

解答 解：令直線y=-x+5與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖所示．

令直線y=-x+5中y=0，則0=-x+5，解得：x=5，
即OC=5．
∵△BOC的面積是$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$OC•BE=$\frac{1}{2}$×5•BE=$\frac{5}{2}$，
解得：BE=1．
結(jié)合題意可知點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，
當(dāng)y=1時(shí)，有1=-x+5，
解得：x=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1），
∴k=4×1=4，
即反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$；

（2）將直線y=-x+5向下平移1個(gè)單位得到的直線的解析式為y=-x+5-1=-x+4，
將y=-x+4代入到y(tǒng)=$\frac{4}{x}$中，得：-x+4=$\frac{4}{x}$，
整理得：x²-4x+4=0，
∵△=（-4）²-4×4=0，
∴平移后的直線與雙曲線y=$\frac{4}{x}$只有一個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及三角形的面積公式，根據(jù)三角形的面積公式找出點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．