Question

6．如圖，△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交BC于D，BE與⊙O切于點B，且CE⊥BE．
（1）求證：BD=CE；
（2）若CD=2，BE=6，求OC的長．

Answer 1

分析 （1）連接AD，利用圓周角定理，垂直定義，切線性質(zhì)可得∠ADB=∠CEB=∠ABE=90°，等量代換可得∠1=∠3，易得△ABD≌△CBE，得出結(jié)論；
（2）作CF⊥AB交AB于F點，由全等三角形的性質(zhì)及勾股定理得BD，CE，易得CF，OF，由勾股定理可得結(jié)果．

解答 （1）證明：如圖1，連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，CE⊥BE，BE是⊙O的切線，
∴∠ADB=∠CEB=∠ABE=90°，
∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABD與△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠BEC}\\{∠1=∠3}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴BD=CE；

（2）解：如圖2，作CF⊥AB交AB于F點，
由（1）可知，BD=CE=x，
在Rt△CEB中，BC²=CE²+BE²，
∵CD=2，BE=6，
∴（2+x）²=x²+6²，
∴x=8，
∴AB=BC=10，BO=AO=5，CE=BD=BF=8，
∴AF=2，OF=OA-AF=3，CF=BE=6，
在Rt△CFO中CO²=CF²+FO²，
∴CO=$\sqrt{{6}^{2}{+3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$

點評 本題考查了切線的性質(zhì)和圓周角定理，通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．