Question

8．如圖，已知矩形（即小學(xué)學(xué)過的長方形）ABCD中，AD=6cm，AB=4cm，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動．
①若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，△AEP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PE和線段PQ的位置關(guān)系；
②若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，運(yùn)動時間為t秒，設(shè)△PEQ的面積為S cm²，請用t的代數(shù)式表示S；
③若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使△AEP與△BPQ全等？
（2）若點(diǎn)Q以③中的運(yùn)動速度從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)A同時出發(fā)，都逆時針沿矩形ABCD的四條邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在矩形ABCD的哪條邊上相遇？

Answer 1

分析 （1）①當(dāng)t=1時，AP=BQ，∠A=∠B，AE=PB，從而可證明△EAP≌Rt△PBQ；②如圖1所示連接QE．當(dāng)t≤4時，AP=BQ=t，S=S_梯形AEQB-S_AEP-S_PBQ；當(dāng)4＜t≤6時，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，S=$\frac{1}{2}QB•AB$=$\frac{1}{2}×4×t$=2t；③如圖3所示：因?yàn)椤鰽EP≌△BQP，所以AP=PB=2，AE=BQ=3，從而可求得t=2，點(diǎn)Q運(yùn)動的速度為=3÷2=1.5cm/秒；
（2）設(shè)運(yùn)動時間為t秒時，第一次相遇．根據(jù)題意得；1.5t-t=16．解得t=32，從而可確定出點(diǎn)P和點(diǎn)Q經(jīng)過32秒在DC上第一次相遇．

解答 解：（1）①當(dāng)t=1時，AP=1，BQ=1，
∴AP=BQ．
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=$\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×6=3$．
∵PB=AB=AP=4-1=3，
∴AE=PB．
在Rt△EAP和Rt△PBQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=PB}\\{∠A=∠B}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△EAP≌Rt△PBQ．
②如圖1所示連接QE．

            圖1
當(dāng)t≤4時，AP=BQ=t，
S_梯形AEQB=$\frac{1}{2}（AE+BQ）•AB$=$\frac{1}{2}×4×（3+t）$=2t+6．
${S}_{△AEP}=\frac{1}{2}AE•PA=\frac{1}{2}×3t$=$\frac{3}{2}t$，${S}_{△PBQ}=\frac{1}{2}PB•BQ$=$\frac{1}{2}×（4-t）t$=2t-$\frac{1}{2}{t}^{2}$．
∴S=2t+6-$\frac{3}{2}t$-（$2t-\frac{1}{2}{t}^{2}$）．
整理得：S=$\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{3}{2}t+6$，
如圖2所示：

當(dāng)4＜t≤6時，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，
S=$\frac{1}{2}QB•AB$=$\frac{1}{2}×4×t$=2t．
∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{3}{2}t+6（0≤t≤4）}\\{2t（4＜t≤6）}\end{array}\right.$；
③如圖3所示：

∵△AEP≌△BQP，PA≠BQ，
∴AP=PB=2，AE=BQ=3．
∴t=AP=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$．
∴點(diǎn)Q運(yùn)動的速度為=3÷2=1.5cm/秒時，△AEP≌△BQP；
（2）設(shè)運(yùn)動時間為t秒時，第一次相遇．
根據(jù)題意得1.5t-t=16．
解得t=32．
點(diǎn)P32秒運(yùn)動的路程=32cm，根據(jù)矩形各邊長可知點(diǎn)P和點(diǎn)Q經(jīng)過32秒在DC上第一次相遇．

點(diǎn)評 本題組要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、函數(shù)的解析式、一元一次方程的綜合應(yīng)用，根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．