Question

10．已知a-$\frac{1}{a}$=1
（1）分別求a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$和a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$的值
（2）若$\frac{{a}^{4}+{ma}^{2}+1}{{3a}^{4}+{ma}^{2}+3}$=7，求m的值
（3）求a¹²+48a^-4的值．

Answer 1

分析 （1）把已知等式兩邊平方，利用完全平方公式化簡，整理求出a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$的值，再兩邊平方求出a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$的值即可；
（2）已知等式變形后，兩邊除以a²，將（1）結(jié)果代入即可求出m的值；
（3）原式利用負指數(shù)冪法則變形，計算即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）把a-$\frac{1}{a}$=1兩邊平方得：（a-$\frac{1}{a}$）²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$-2=1，即a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=3；
把a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=3兩邊平方得：（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）²=a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$+2=9，即a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$=7；
（2）已知等式整理得：a⁴+ma²+1=21a⁴+7ma²+21，即10a⁴+3ma²+10=0，
兩邊除以a²得：10（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）=-3m=30，
解得：m=-10；
（3）原式=a¹²+$\frac{48}{{a}^{4}}$=a⁴a⁸+$\frac{48}{{a}^{4}}$=（7-$\frac{1}{{a}^{4}}$）a⁸+$\frac{48}{{a}^{4}}$=7a⁸-a⁴+$\frac{48}{{a}^{4}}$=7a⁴（7-$\frac{1}{{a}^{4}}$）-a⁴+$\frac{48}{{a}^{4}}$=49a⁴-7-a⁴+$\frac{48}{{a}^{4}}$=48a⁴+$\frac{48}{{a}^{4}}$-7=47×7=329．

點評 本題主要考查了分式的化簡求值的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式的多次應(yīng)用，特別是（3）問需要對a¹²進行拆分，此題難度不大．