Question

15．正方形ABDE中，AB=2，以AB為邊作等邊△ACB，BF⊥AC于F，直線DC交直線BF于M，則CD=$\sqrt{6}±\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，分△ACB在正方形的內(nèi)部和外部?jī)煞N情況考慮，再根據(jù)勾股定理解答即可．

解答 解：當(dāng)△ACB在正方形ABDE內(nèi)部時(shí)，如圖1：

過點(diǎn)C作CG⊥BD，
∵等邊△ACB，BF⊥AC于F，
∴∠FBC=30°，∠BFC=90°，∠ABC=60°，
∵正方形ABDE中，AB=2，
∴∠CBG=90°-60°=30°，
在△BFC和△BGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFC=∠BGC}\\{∠FBC=∠GBC}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BFC≌△BGC（AAS），
∴CG=CF，BF=BG，
∵正方形ABDE中，AB=2，以AB為邊作等邊△ACB，BF⊥AC于F，
∴BG=$\sqrt{3}$，CG=1，
∴GD=2-$\sqrt{3}$，CG=1，
∴CD=$\sqrt{（2-\sqrt{3}）^{2}+1}=\sqrt{8-4\sqrt{3}}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，
當(dāng)△ACB在正方形ABDE外部時(shí)，如圖2：

過點(diǎn)C作CH⊥BD，
∵等邊△ACB，BF⊥AC于F，
∴∠FBC=30°，∠BFC=90°，∠ABC=60°，
∵正方形ABDE中，AB=2，
∴∠CBH=90°-60°=30°，
在△BFC和△BHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFC=∠BHC}\\{∠FBC=∠HBC}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BFC≌△BHC（AAS），
∴CH=CF，BF=BH，
∵正方形ABDE中，AB=2，以AB為邊作等邊△ACB，BF⊥AC于F，
∴BH=$\sqrt{3}$，CH=1，
∴HD=2+$\sqrt{3}$，CH=1，
∴CD=$\sqrt{（2+\sqrt{3}）^{2}+1}=\sqrt{8+4\sqrt{3}}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，
綜上所述，CD=$\sqrt{6}±\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{6}±\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查正方形的問題，關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)分析，同時(shí)作出正確圖形分情況解題是難點(diǎn)．