Question

19．拋物線y=ax²+3交x軸于A（-4，0）、B兩點，交y軸于C．將一把寬度為1.2的直尺如圖放置在直角坐標系中，使直尺邊A′D′∥BC，直尺邊A′D′交x軸于E，交AC于F，交拋物線于G，直尺另一邊B′C′交x軸于D．當點D與點A重合時，把直尺沿x軸向右平移，當點E與點B重合時，停止平移，在平移過程中，△FDE的面積為S．
（1）請你求出S的最大值及拋物線解析式；
（2）在直尺平移過程中，直尺邊B′C′上是否存在一點P，使點P、D、E、F構(gòu)成的四邊形這菱形，若存在，請你求出點P坐標；若不存在，請說明理由；
（3）過G作GH⊥x軸于H
①在直尺平移過程中，請你求出GH+HO的最大值；
②點Q、R分別是HC、HB的中點，請你直接寫出在直尺平移過程中，線段QR掃過的圖形的面積和周長．

Answer 1

分析 （1）由y=ax²+3，得到C（0，3），OC=3×$\frac{1}{2}DE•OC=3$，求得DE=2，則S的最大值為F與C重合時，此時高最大；于是得到S_max=$\frac{1}{2}$DE•CO=3將A（-4，0）B（4，0），代入y=ax²+3即可得到結(jié)論；
（2）當D與A重合時，F(xiàn)D=FE，過E作EP₁∥FA交B′C′于P₁，則四邊形P₁DFE為菱形，此時F（$-3，\frac{3}{4}$），由于F與P₁關(guān)于x軸對稱，得到P₁（$-3，-\frac{3}{4}$），②如圖（2）若FE=ED=2時，過F作FP₂∥ED交B′C′于P₂，則四邊形P₂DEF為菱形，反向延長FP₂交y軸于W，過F作FN⊥x軸于N，由于FE∥BC，∴∠FEN=∠CBO，求出sin∠FEN=sin∠CBO=$\frac{3}{5}$，在Rt△ENF中，sin∠FEN=$\frac{FN}{EF}$，即FN=$\frac{6}{5}$，解出直線AC的解析式為$y=\frac{3}{4}x+3$，即可求得P點的坐標；
（3）①設(shè)G$（x，-\frac{3}{16}x+3）$，由勾股定理即可求出結(jié)果，②在平移的過程中，QR始終平行且等于BC的一半，所以QR掃過的圖形為平行四邊形，如圖3四邊形Q₁R₁R₂Q₂為平行四邊形，通過三角形相似，列比例式解得OH的長度，即可求得線段QR掃過的圖形的面積和周長．

解答 （1）由y=ax²+3，得到C（0，3），OC=3×$\frac{1}{2}DE•OC=3$，求得DE=2，則S的最大值為F與C重合時，此時高最大；于是得到S_max=$\frac{1}{2}$DE•CO=3將A（-4，0）B（4，0），代入y=ax²+3即可得到結(jié)論；
解：（1）∵y=ax²+3，∴C（0，3），即：OC=3×$\frac{1}{2}DE•OC=3$，
∴DE=2，
則S的最大值為F與C重合時，此時高最大；
即S_max=$\frac{1}{2}$DE•CO=3，
將A（-4，0）B（4，0），
代入y=ax²+3得：$a=-\frac{3}{16}$即$y=-\frac{3}{16}{x^2}+3$，

（2）①如圖1，當D與A重合時，F(xiàn)D=FE，過E作EP₁∥FA交B′C′于P₁，
則四邊形P₁DFE為菱形，此時F（$-3，\frac{3}{4}$），
∵F與P₁關(guān)于x軸對稱，
∴P₁（$-3，-\frac{3}{4}$），
②如圖（2）若FE=ED=2時，過F作FP₂∥ED交B′C′于P₂，則四邊形P₂DEF為菱形，
反向延長FP₂交y軸于W，過F作FN⊥x軸于N，
∵FE∥BC，∴∠FEN=∠CBO，
∴sin∠FEN=sin∠CBO=$\frac{3}{5}$，
在Rt△ENF中，sin∠FEN=$\frac{FN}{EF}$，即FN=$\frac{6}{5}$，
直線AC的解析式為$y=\frac{3}{4}x+3$，
令$y=\frac{6}{5}$，則$x=-\frac{12}{5}$，
∴FW=$\frac{12}{5}$，
∴${P_2}W=\frac{12}{5}+2=\frac{22}{5}$，
∴${P_2}（-\frac{22}{5}，\frac{6}{5}）$，

（3）①設(shè)G（x，-$\frac{3}{16}$x²+3），
∴$GH+HO=-x+（-\frac{3}{16}{x^2}+3）=-\frac{3}{16}{x^2}-x+3=-\frac{3}{16}{（x+\frac{8}{3}）^2}+\frac{13}{3}$，
∴GH+HO的最大值為$\frac{13}{3}$，
②在平移的過程中，QR始終平行且等于BC的一半，所以QR掃過的圖形為平行四邊形，
如圖3四邊形Q₁R₁R₂Q₂為平行四邊形，
 設(shè)HO=m，則GH=$-\frac{3}{16}{m^2}+3$，
∵△EFM∽△EGH，
∴$\frac{FM}{GH}=\frac{EM}{EH}即\frac{{\frac{3}{4}}}{{-\frac{3}{16}{m^2}+3}}=\frac{1}{m-2}$，
∴${m_1}=2\sqrt{7}-2，{m_2}=-2\sqrt{7}-2$，
即：HO=$2\sqrt{7}-2$
∵HB=HO+OB=$2\sqrt{7}-2$+4=$2\sqrt{7}+2$，
∴$H{R_1}=\frac{1}{2}HB=\sqrt{7}+1$，
∵$H{R_2}=HB-{R_2}B=2\sqrt{7}+2-2=2\sqrt{7}$，
∴R₁R₂=HR₂-HR₁=$\sqrt{7}-1$，
∴S_{平行四邊形}=（$\sqrt{7}$-1）×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{7}$-$\frac{3}{3}$，
平行四邊形R₁R₂Q₂Q₁的周長=$2\sqrt{7}+3$．

點評 本題考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)，軸對稱的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)性質(zhì)，平行四邊形的面積和周長的求法，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．