Question

6．【操作探究】
如圖1，四邊形ABCD是正方形，E是CD邊的中點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊后AD的延長(zhǎng)線交邊BC與M，請(qǐng)判斷線段AM，AD，MC之間的數(shù)量關(guān)系：AM=AD+CM；
【拓展延伸】若四邊形ABCD是長(zhǎng)與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，上一題中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
【解決問(wèn)題】如圖3四邊形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，垂直分別是B、C，AB=2CD，M是線段BC上一點(diǎn)，且∠AMB=2∠MAD．已知圖中兩個(gè)三角形的面積S_△ADM=S₁，S_△CDM=S₂，請(qǐng)用S₁、S₂表示S_△ABM．

Answer 1

分析 從平行線和中點(diǎn)這兩個(gè)條件出發(fā)，延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)N，如圖1（1），易證△ADE≌△NCE，從而有AD=CN，只需證明AM=NM即可．
【拓展延伸】在圖2（1）中，仿照（1）中的證明思路即可證到AM=AD+MC仍然成立；
【解決問(wèn)題】延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)P，易證△AMP是等腰三角形，AD=DP，求出S_△PDM、S_△PCD，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求出S_△ABP，用三角形面積的和差表示即可．

解答 解：AM=AD+C
證明：延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)N，如圖1（1），
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠ENC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠ENC=∠MAE．
∴MA=MN．
在△ADE和△NCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CNE}\\{∠AED=∠NEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△NCE（AAS）．
∴AD=NC．
∴AM=MN=NC+MC=AD+CM．
故答案為：AM=AD+CM
【拓展延伸】
證明：延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)P，如圖2（1），
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠EPC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠EPC=∠MAE．
∴MA=MP．
在△ADE和△PCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CPE}\\{∠AED=∠PEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△PCE（AAS）．
∴AD=PC．
∴MA=MP=PC+MC=AD+MC．
所以結(jié)論AM=AD+MC仍然成立．
【解決問(wèn)題】
解：∵∠AMB=2∠MAD
∴∠MAD=∠MPD，
∴△AMP是等腰三角形，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥CD，
∵AB=2CD，
∴AD=PD，
∴S_△PDM=S_△ADM=S₁，又S_△CDM=S₂，
∴S_△PCD=S_△PDM-S_△CDM=S₁-S₂，
∵AB=2CD，
∴S_△ABP=4S_△PCD，=4（S₁-S₂）
∴S_△ABM=S_△ABP-2S_△ADM=4（S₁-S₂）-2S₁=2S₁-4S₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形及矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)等知識(shí)，考查了基本模型的構(gòu)造（平行加中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形），綜合性比較強(qiáng)．添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決這道題的關(guān)鍵．