Question

14．平面直角坐標(biāo)系xOy中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，5）．B、C分別是x軸、y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，C從A出發(fā)，沿y軸負(fù)半軸方向以1個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B從O出發(fā)，沿x軸正半軸方向以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)D是線(xiàn)段OB上一點(diǎn)，且BD=OC．點(diǎn)E是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AE${\;}_{=}^{∥}$DB．
（1）當(dāng)t=4秒時(shí)，求過(guò)E、D、B三點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式．
（2）當(dāng)0＜t＜5時(shí)，（如圖甲），∠ECB的大小是否隨著C、B的變化而變化？如果不變，求出它的大�。�
（3）求證：∠APC=45°．
（4）當(dāng)t＞5時(shí)，（如圖乙）∠APC的大小還是45°嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)題意得到E（1，5），B（4，0），D（3，0），然后設(shè)過(guò)E、D、B三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），待定系數(shù)法求出a、b和c的值；
（2）連接CE，根據(jù)SAS證明Rt△ACE≌Rt△OBC，即可CE=CB，∠ACE=∠OBC，∠AEC=∠OCB，結(jié)合角角之間的關(guān)系即可證明∠ECB=90°；
（3）由（2）知，CE=CB，∠ECB=90°，四邊形ADBE是平行四邊形，于是得到∠APC=∠EBC；
（4）在第二象限取點(diǎn)F，作AF$\underset{∥}{=}$BD，連接CF、BF，根據(jù)SAS證明Rt△ACF≌Rt△OBC，結(jié)合外角的性質(zhì)即可證明∠APC＞45°．

解答 解：（1）當(dāng)t=4秒時(shí)，AC=OB=4，由A（0，5）得C（0，1），即OC=1，又BD=OC，AE∥DB且AE=BD，
∴AE=DB=OC=1，
∴E（1，5），B（4，0），D（3，0），
設(shè)過(guò)E、D、B三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
則有$\left\{\begin{array}{l}5=a+b+c\\ o=16a+4b+c\\ o=9a+3b+c\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=+\frac{5}{6}\\ b=-\frac{35}{6}\\ c=10\end{array}\right.$，
∴拋物線(xiàn)解析式為$y=\frac{5}{6}{x^2}-\frac{35}{6}x+10$．

（2）∠ECB的大小不變，
如圖1，連接CE，易得Rt△ACE≌Rt△OBC（SAS），
∴CE=CB，∠ACE=∠OBC，∠AEC=∠OCB，
又知∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠OCB=90°，
∴∠ECB=90°；

（3）由（2）知，CE=CB，∠ECB=90°，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴∠EBC=45°，
∵AE∥DB且AE=BD，
∴四邊形ADBE是平行四邊形，
∴AB∥BE，
∴∠APC=∠EBC=45°；

（4）當(dāng)t＞5時(shí)，∠APC＞45°，
理由如下：
如圖2，在第二象限取點(diǎn)F，作AF$\underset{∥}{=}$BD，
連接CF、BF，易得Rt△ACF≌Rt△OBC（SAS），
∴CF=CB，∠1=∠2，
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴∠CBF=45°，
∵∠APC＞∠CBF（外角大于它不相鄰的內(nèi)角），
∴∠APC＞45°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題的知識(shí)，此題涉及到了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練利用SAS證明直角三角形的全等以及合理地作出輔助線(xiàn)，此題有一定的難度．