Question

4．如圖，E在矩形ABCD的AD邊上，AE=3，ED=5，DC=10，F(xiàn)，H分別在AB，CD上，四邊形EFGH是菱形，則△FBG的面積S的取值范圍是（　�。�

• A． 0＜S≤15
• B． 2＜S≤12
• C． 1＜S≤15
• D． 0＜S≤12

Answer 1

分析 由于四邊形ABCD為矩形，四邊形HEFG為菱形，易證△HDE≌△GFP，得到GP=DE=5，即無論菱形EFGH如何變化，點(diǎn)G到直線AB的距離始終為定值5，先求出AF的取值范圍，S的面積可以表示成x的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，就可以求出最值．

解答 解：過點(diǎn)G作GP⊥AB于P，連接HF，
在矩形ABCD中，
∵CD∥AB，
∴∠DHF=∠HFP，
∵四邊形EFGH是菱形，
∴EH∥GF，
∠EHF=∠HFG，
∴∠DHE=∠HFG，
∵∠D=∠P=90°，
在△HDE與△GFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HDE=∠GFP}\\{∠D=∠P}\\{EH=FG}\end{array}\right.$，
∴△HDE≌△GFP（AAS），
∴GP=DE=5，
∴即無論菱形EFGH如何變化，點(diǎn)G到直線AB的距離始終為定值5，
∴S_△GFB=$\frac{1}{2}$×5•BF，
當(dāng)BF=0時(shí)，S=0，
當(dāng)BF最大時(shí)，AF最小，
設(shè)DH=x，則EH²=25+x²，
∴EF²=25+x²，
∴AF²=25-x²-9=x²+16，
∴當(dāng)AF=4時(shí)，BF=6，
∴S_最大=$\frac{1}{2}×5×6$=15，
∴△FBG的面積S的取值范圍是：0＜S≤15，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是作輔助線：過F作FM⊥DC，交DC延長(zhǎng)線于M，連接GE，構(gòu)造全等三角形和內(nèi)錯(cuò)角．