Question

9．（1）如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，點A，B，C在⊙O上，AD與⊙O相切于點A，射線AO交BC于點E，交⊙O于點F，點P在射線AO上，且∠PCB=2∠BAF，請判斷直線PC與⊙O的位置關系并給予證明．
（2）如圖2，四邊形ABCD為⊙O的圓內(nèi)接四邊形，若AC⊥BD，且AD=8，BC=6，求圓心O到AD、BC的距離之和．

Answer 1

分析 （1）首先連接OC，由AD與⊙O相切，可得FA⊥AD，四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，然后由垂徑定理可證得F是$\widehat{BC}$的中點，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，繼而證得直線PC是⊙O的切線；
（2）記AC與BD的交點為H，先證△ADH∽△BCH得$\frac{AH}{BH}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{4}{3}$，連接AO并延長AO交⊙O于點G，再證△ADG∽△AHB可得$\frac{AD}{DG}$=$\frac{AH}{BH}$，即可知DG的長，進而得出AG的長，即⊙O的半徑，作OE⊥AD，作OF⊥BC，根據(jù)垂徑定理得出AE=$\frac{1}{2}$AD=4，BF=$\frac{1}{2}$BC=3，最后由勾股定理可求得OE、OF，從而得出答案．

解答 解：（1）如圖1，連接OC．

∵AD與⊙O相切于點A，
∴FA⊥AD．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴FA⊥BC．
∵FA經(jīng)過圓心O，
∴F是$\widehat{BC}$的中點，BE=CE，∠OEC=90°，
∴∠COF=2∠BAF．
∵∠PCB=2∠BAF，
∴∠PCB=∠COF．
∵∠OCE+∠COF=180°-∠OEC=90°，
∴∠OCE+∠PCB=90°．
∴OC⊥PC．
∵點C在⊙O上，
∴直線PC是⊙O的切線；

（2）記AC與BD的交點為H，
∵AC⊥BD，
∴∠AHD=∠BHC=90°，
又∵∠DAH=∠CBH，
∴△ADH∽△BCH，
∴$\frac{AH}{BH}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
如圖2，連接AO并延長AO交⊙O于點G，

∴∠ADG=∠AHB=90°，
∵∠G=∠ABH，
∴△ADG∽△AHB，
∴$\frac{AD}{DG}$=$\frac{AH}{BH}$，即$\frac{8}{DG}$=$\frac{4}{3}$，
∴DG=6，
∴AG=$\sqrt{A{D}^{2}+D{G}^{2}}$=10，
∴OA=OB=5，
連接OB，作OE⊥AD于點E，作OF⊥BC于點F，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=4，BF=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴OE=$\sqrt{A{O}^{2}-A{E}^{2}}$=3，OF=$\sqrt{B{O}^{2}-B{F}^{2}}$=4，
∴OE+OF=7．

點評 此題考查了切線的判定、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．