Question

12．已知一個(gè)正三角形和一個(gè)正六邊形的面積相等，求這兩個(gè)正多邊形的邊長的比．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，分別設(shè)出邊長并表示出面積后即可利用面積相等得到答案．

解答 解：設(shè)正三角形的邊長為a，則正六邊形的邊長為b；
過A作AD⊥BC于D，則∠BAD=30°，

AD=AB•cos30°=a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²；
連接OA、OB，過O作OD⊥AB；

∵∠AOB=$\frac{360°}{6}$=60°，
∴∠AOD=30°，
OD=$\frac{AD}{tan30°}$=$\frac{\frac{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×b×$\frac{\sqrt{3}}{2}$b=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²，
∴S_六邊形=6S_△OAB=6×$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$b²，
∵S_△ABC=S_六邊形
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$b²，
解得：a：b=$\sqrt{6}$：1．
這兩個(gè)正多邊形的邊長的比為$\sqrt{6}$：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正三角形及正六邊形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合正多邊形的性質(zhì)解答