Question

3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，點(diǎn)E在$\widehat{BC}$上，且$\widehat{CE}=\widehat{AD}$，AE與CD交于點(diǎn)G，與BC交于點(diǎn)F．
（1）求證：$\frac{BF}{BC}$=$\frac{EF}{DH}$；
（2）連接OG，試判斷OG與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，點(diǎn)M在⊙O上．若AE=8，AH=2，試探究在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，$\frac{HM}{PM}$的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，說(shuō)明變化規(guī)律．

Answer 1

分析 （1）首先利用垂徑定理得到$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，然后利用$\widehat{CE}$=$\widehat{AD}$，從而得到$\widehat{AE}$=$\widehat{DC}$，即可得∠EBC=∠ABC，求出△BHC∽△EFB，即可得出答案；
（2）利用圓周角定理得出，∠DCF=∠EFB，進(jìn)而得出∠DCF=∠AFC，再利用三角形中位線(xiàn)定理得出答案；
（3）分別利用當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)：$\frac{HM}{PM}$=$\frac{AH}{PA}$，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)：$\frac{HM}{PM}$=$\frac{HB}{PB}$，當(dāng)點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，得出△OHM∽△OPM，分別得出答案．

解答 （1）證明：連接BE，GO，AC，
∵CD⊥AB，AB為直徑，
∴∠E=90°，CH=DH，$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∵$\widehat{CE}$=$\widehat{AD}$，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CE}$=$\widehat{AC}$，
∴∠EBC=∠ABC，
∵∠E=∠CHB，
∴△BHC∽△EFB，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{EF}{CH}$，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{EF}{DH}$；

（2）解：∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CE}$=$\widehat{AC}$，
∴∠EBC=∠EAC=∠DCA=∠CBA，
∵∠BFE+∠EBC=90°，∠MBC+∠DCB=90°，
∴MG=GC，∠DCF=∠EFB，
∴∠DCF=∠AFC，
∴GF=GC，且AO=BO，
∴GO∥BC，GO=$\frac{1}{2}$BC；

（3）解：$\frac{HM}{PM}$的值不變
理由：如圖2，連接DO，則DO⊥PD，DH⊥PO，
可得△OHD∽△ODP，△OHD∽△DHP，
則DO²=HO•OP；
DH²=OH•HP，
∵$\widehat{CE}=\widehat{AD}$，弦CD⊥AB于H，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{EC}$=$\widehat{AD}$，
∴AE=DC=8，
∴DH=4，
設(shè)AO=x，則HO=x-2，
故x²=（x-2）²+4²，
解得：x=5，故HO=3，
即4²=3•HP，
∴HP=$\frac{16}{3}$．
當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)：$\frac{HM}{PM}$=$\frac{AH}{PA}$=$\frac{2}{\frac{16}{3}-2}$=$\frac{3}{5}$，
當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)：$\frac{HM}{PM}$=$\frac{HB}{PB}$=$\frac{8}{\frac{16}{3}+8}$=$\frac{3}{5}$，
當(dāng)點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合時(shí)：連接HM、PM、MO、DO，
∵DO²=HO•OP，
∴OM²=HO•OP，
∴$\frac{MO}{HO}$=$\frac{PO}{MO}$，
∵∠AOM=∠MOA，
∴△OHM∽△OPM，
∴$\frac{HM}{PM}$=$\frac{HO}{MO}$=$\frac{3}{5}$．
∴綜上所述，$\frac{HM}{PM}$的比值不變，比值為：$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合知識(shí)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是得到△OHD∽△ODP，△OHD∽△DHP，從而得到DH²=OH•HP，綜合性較強(qiáng)，難度較大．